LeetCode-279 完全平方數

阿新 • • 發佈：2021-12-21

題目來源

LeetCode-279.完全平方數

題目詳情

給定正整數n，找到若干個完全平方數（比如1, 4, 9, 16, ...）使得它們的和等於 n。你需要讓組成和的完全平方數的個數最少。

給你一個整數 n ，返回和為 n 的完全平方數的 最少數量 。

完全平方數 是一個整數，其值等於另一個整數的平方；換句話說，其值等於一個整數自乘的積。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方數，而 3 和 11 不是。

示例1：

輸入： n = 12
輸出： 3
解釋： 12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

輸入： n = 13
輸出： 2
解釋： 13 = 4 + 9

提示：

1 <= n <= 104

題解分析

完全揹包問題變形-二維陣列解法

從題目可以分析出，這題其實是完全揹包問題的變形，整個題目都能看到完全揹包問題的影子。
題目中的n就可以類比於揹包的容量，這些計算出來的完全平方數就相當於商品，可以假設每個完全平方數的價值為1（相當於把個數看成價值）。
由此，可以構造出狀態轉移陣列，假設\(dp[i][j]\)表示前i個數中，可以拼湊出數字和恰好是j的最小數字個數。進而，根據定義，可以定義狀態轉移函式：\(dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-nums[i]] + 1)\)。
需要注意的是，這裡的狀態轉移方程中的第二個條件，dp[i][j-1]是與01揹包不同的地方，因為這些平方數可以選擇無限個，其實\(dp[i][j-nums[i]] + 1\)

是應該寫成\(dp[i-1][j-k*nums[i]] + k\)（k表示平方數使用的個數）的形式的。但是我們仔細觀察迭代式可以知道：其實\(dp[i][j-nums[i]] + 1\)已經計算過了這個式子：\(dp[i-1][j-k*nums[i]] + k\)。所以在狀態轉移方程裡，我們可以直接寫成複用前一個式子的形式。
最後，我們還得考慮一下邊界值。\(dp[i][0]\)可以表示為前i個數中選出若干個數的和為0的最小個數，這其實可以賦值為0，因為不可能拼湊出0，因為最小的平方數都是1。而\(dp[0][j]\)則可以理解為用0個數拼湊出j是絕不可能的，所以賦值為最大值0X3F3F3F3F。

class Solution {
    final int MAXS = 0X3F3F3F3F;
    public int numSquares(int n) {
        int sn = (int)Math.sqrt(n);
        int[] nums = new int[sn+1];
        for(int i=0; i<=sn; i++){
            nums[i] =  i * i;
        }
        // dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-nums[i]])
        int[][] dp = new int[sn+1][n+1];
        for(int i =0; i<=sn; i++){
            Arrays.fill(dp[i], MAXS);
            dp[i][0] = 0;
        }
        
        for(int i=1; i<=sn; i++){
            for(int j=1; j<=n; j++){
                if(j >= nums[i]){
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-nums[i]] + 1);
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        return dp[sn][n];
    }
}

完全揹包優化-一維陣列解法

學過揹包問題的可能都有所瞭解，揹包問題一般都可以進行陣列維度的優化。
從我們的狀態轉移方程（\(dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-nums[i]] + 1)\)）也可以看到，當前狀態只依賴於上一層的狀態以及本輪之前已經計算過的狀態。所以，可以將dp退化為一維陣列，然後採用正序遍歷j的方法，這麼做的原因是需要取到本輪迭代中前面計算的值\(dp[i][j-nums[i]]\)。
最後，也要考慮一下邊界值的計算，這裡只有\(dp[0]\)可以被賦值為0，其他位置（類似於解法一中的\(dp[0][j]\)）都被賦值為無窮大：0X3F3F3F3F。
程式碼如下：

class Solution {
    final int MAXS = 0X3F3F3F3F;
    public int numSquares(int n) {
        int sn = (int)Math.sqrt(n);
        int[] nums = new int[sn+1];
        for(int i=0; i<=sn; i++){
            nums[i] =  i * i;
        }
        // dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-nums[i]])
        int[] dp = new int[n+1];
        Arrays.fill(dp, MAXS);
        dp[0] = 0;
        
        for(int i=1; i<=sn; i++){
            for(int j=nums[i]; j<=n; j++){
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-nums[i]] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

Either Excellent or Rusty