技術標籤：LeetCode動態規劃演算法leetcodepython

62. 不同路徑

題目來源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/

題目

一個機器人位於一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為 “Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為 “Finish” ）。

問總共有多少條不同的路徑？

示例 1：

圖源來自：力扣（62. 不同路徑）

輸入：m = 3, n = 7
輸出：28

示例 2：

輸入：m = 3, n = 2
輸出：3
解釋：
從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
 

示例 3：

輸入：m = 7, n = 3
輸出：28

示例 4：

輸入：m = 3, n = 3
輸出：6

提示：

• 1 ≤ m , n ≤ 100 1 \leq m, n \leq 100 1≤m,n≤100
• 題目資料保證答案小於等於 2 ∗ 1 0 9 2 * 10^{9} 2∗109

解題思路

思路：動態規劃

先審題，題目給定一個 m × n m \times n m×n 的網格，左上角放置一個機器人，右下角為終點，問機器人到達終點的路徑有多少條？

其中機器人的移動規則為：

• 每次只能向下或者向右移動一步。

現在假設 f ( m , n ) f(m, n) f(m,n)

狀態定義

設 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示到格子 ( i , j ) (i, j)

狀態轉移方程

根據機器人的移動規則【每次只能向下或者向右移動一步】，那麼格子 ( i , j ) (i, j) (i,j) 可以從格子 ( i − 1 , j ) (i-1, j) (i−1,j) 或者格子 ( i , j − 1 ) (i, j-1) (i,j−1) 移動到達。那麼此時的轉移方程為：
d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] + d p [ i ] [ j − 1 ] dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] dp[i][j]=dp[i−1][j]+dp[i][j−1]

狀態初始化

由於機器人移動規則限制，第一列的格子只能是由機器人從上往下移動到達，初始化 d p [ i ] [ 0 ] dp[i][0] dp[i][0] 的值為 1。

同樣的第一行的格子，只能是由機器人從左到右移動到達，初始化 d p [ 0 ] [ j ] dp[0][j] dp[0][j] 的值為 1。

最終要求到達網格右下角的總路徑和，那麼最終返回 d p [ m − 1 ] [ n − 1 ] dp[m-1][n-1] dp[m−1][n−1]。

具體的程式碼實現如下。

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]

        # 初始化
        for i in range(m):
            dp[i][0] = 1
        
        for j in range(n):
            dp[0][j] = 1

        # 根據轉移方程進行遞推
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
        
        return dp[m-1][n-1]
        # return dp[-1][-1]

複雜度分析

• 時間複雜度： O ( m n ) O(mn) O(mn)。
• 空間複雜度： O ( m n ) O(mn) O(mn)。

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