題目

一個機器人位於一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為“Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為“Finish”）。

問總共有多少條不同的路徑？

思路

回溯：能夠實現，不斷向右或者向下，但是效率過低，無法通過

動態規劃：

令 dp[i][j] 是到達 i, j 最多路徑，因此動態方程為dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]，其中第一行 dp[0][j]和第一列 dp[i][0]，在邊界，所以其值只能為 1、

進一步優化：每一格的值只與上一行有關，因此我們只要維護一行的值即可

實現

回溯：

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        result = 0
        def step(x,y):
            if x < m-1:
                step(x+1,y)
            if y < n-1:
                step(x,y+1)
            if x == m -1 and y == n-1:
                nonlocal result
                result 
 
+= 1
        step(0,0)
        return result

動態規劃：

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        matrix = [[0 for i in range(n)] for j in range(m)]
        for k in range(m):
            for j in range(n):
                if k < 1:
                    matrix[k][j] = 1
                elif
 
 j < 1:
                    matrix[k][j] = 1
                else:
                    matrix[k][j] = matrix[k-1][j] + matrix[k][j-1]
        return matrix[m-1][n-1]

優化：

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        matrix = [1 for i in range(n)]
        for k in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                    matrix[j] += matrix[j-1]
        return matrix[n-1]