1 月 30 日 12 時，《張朝陽的物理課》第二十四期開播。與以往不同的是，此次直播，也成為今年搜狐視訊“直播伴你過大年”節目的一部分。搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間，複習了氫原子的波函式，根據能級的簡併與各種量子數的取值範圍研究電子的軌道。

通過氫原子的徑向波函式，張朝陽分析了電子在不同半徑球殼出現的概率，以求得軌道半徑，又通過生動形象的動畫，直觀展現氫原子波函式的三維形狀。之後過渡到多電子原子體系，研究了氦原子和鋰原子中電子間的排斥力和對核電荷的遮蔽作用，將氫原子軌道擴充套件到多電子原子。最後舉例討論了碳氮氧等元素的電子排布，解釋它們如何與不同數量的氫原子共同結合成多種重要物質，內容也從物理領地走向化學領地。

“過年啦！物理課不能停！”張朝陽在直播間“小白板”上寫下主題，“過年閒下來，別忘了自己該乾的事。學習不能停，物理不能停，探索自然界的奧祕不能停。”他說，“學習物理，僅僅停留在數學計算而沒有實際的運用，是沒有意義的。所以，今天將走向化學領地，講講元素週期表。”

軌道能級有簡併 三量子數來確定

經過此前幾節課的推導，張朝陽帶網友求解氫原子的薛定諤方程，得到其原子能級與電子波函式。

他介紹，波函式描述了電子繞核運動的“軌道”，用三個量子數描述，分別為主量子數 n，角量子數 l 與磁量子數 m，它們只能取整數值，具有量子力學獨特的分立性。對應於主量子數 n，角量子數取值可從 0 取到 n-1，其波函式對應的軌道也用特殊的符號描述 s，p，d，f，g，h，i，j，...，在這些符號前加上 n，就可以描述軌道能級。

張朝陽舉例，軌道 1s 代表對應的波函式的主量子數為 n=1、角量子數為 l=0，軌道 4d 代表 n=4 與 l=2。確定了 n 與 l 之後，磁量子數 m 取值則是從-l 到 l，共 2l+1 個，這樣對於不同的軌道含有不同的量子態數。對於 1s 軌道，m 只能取 0，只有一個量子態；而對於 4d 軌道，m 可以取-2，-1，0，1，2 五個值，說明它包含了五個量子態。接下來，張朝陽帶著網友嘗試研究這些軌道的性質，並將其擴充套件到多電子原子體系。

求導計算概率極值 得到原子軌道半徑

在瞭解了電子軌道與能級簡併後，張朝陽繼續帶領網友瞭解不同軌道的半徑。他說，為了計算半徑，需要回到軌道對應的波函式中。由於 l=n-1 的波函式最容易寫出來，張朝陽先對這些“角動量最大的態”來計算，對應的軌道是 1s，2p，3d.....，其徑向波函式表達為如下形式：

根據量子力學中波函式的概率詮釋，由於角向波函式歸一化的事實，電子出現在球殼 r 到 r+dr 的概率是：

通過求導取極值，可以求出這個概率密度取到極大值時的位置為：

類氫原子中電子出現在這個半徑的概率最大，於是該半徑可以等效地認為是此軌道的半徑，上述公式顯示了軌道半徑與主量子數 n、核電荷數 Z 之間的關係。

▲張朝陽計算 l=n-1 軌道的半徑

張朝陽介紹，“其它軌道的半徑也是差不多的演算法，需要先知道其對應的徑向波函式才行。”為了演示其他類氫原子波函式怎麼求解，他利用上節課推匯出來的遞推關係求出了 n=2，l=0 的徑向波函式，並且畫出了電子概率密度隨 r 變化的函式影象，可以清晰地看到它在 5.1 倍玻爾半徑處取到最大值，除此之外在 0.8 玻爾半徑處還有個小峰值。

在討論完氫原子波函式的各個性質之後，他還給網友演示了關於氫原子波函式 3D 形貌的一條視訊，非常直觀地呈現出包含徑向與角向部分的完整而立體的氫原子波函式。

多個電子相作用 近似遮蔽核電荷：氦原子與鋰原子

氫原子只有一個電子，其他原子有多個電子，這些多電子體系該怎麼處理？仍有類似氫原子這樣的軌道結構嗎？它們的核外電子又該如何排布？

張朝陽解釋，多電子體系的難點在於，除了電子與核的吸引作用外，電子與電子之間也有排斥作用，這樣的哈密頓量對應的薛定諤方程是很難求解的，但仍然可以通過近似的辦法得到定性的電子排布影象。

他一步一步推導。先看氦原子，氦原子有兩個電子，原子核帶兩個正電荷，相當於 Z=2，但不能像類氫原子那樣去計算，因為這時候氦原子中一個電子的負電荷會遮蔽另一個電子感受到的原子核的正電荷，相當於電子感受到原子核的等效 Z 會小於 2。氦原子處於基態時，假定電子的波函式仍然跟單個電子時相同，這樣電子的波函式裡的 Z 也會小於 2。

為了具體求出這個等效的 Z 是多少，可以利用變分法，要求考慮了所有相互作用的哈密頓量在上述假定的波函式下取得最小值。對應於能量取得最小值時的 Z 值，也就是氦原子基態時的 Z 值。經過計算，該等效電荷為 Z=27/16，確實是小於 2 的。根據前面推匯出的半徑與 Z 的關係，若不考慮遮蔽作用，Z=2，則氦原子的電子半徑應為 1/2 玻爾半徑，但查詢資料表明電子的實際半徑比它要大，這也體現了在電子遮蔽下的等效 Z 不再是 2 而是比 2 小了。

▲張朝陽關於多電子原子軌道的評論

研究完兩個電子的氦原子之後，張朝陽繼續討論有三個電子的鋰原子。他先引入電子自旋的概念，並介紹了泡利不相容原理。他說，電子除了傳統的軌道自由度，還有個內稟自由度叫做自旋，電子自旋正交的態只有兩個，為了簡單起見這兩種自旋狀態就稱為向上和向下，不同的自旋代表不同的量子態。

他繼續介紹，泡利不相容原理則是說在費米子組成的系統中，不能有兩個或兩個以上的粒子處於完全相同的狀態。這樣 1s 軌道中，可以填一個自旋向上的電子和一個自旋向下的電子，但不能再填第三個電子，因為如果第三個電子也處在 1s 軌道上，那必然至少有兩個電子自旋方向一樣，說明這兩個電子處在同一個量子態當中，這不符合泡利不相容原理，所以第三個電子只能往更高能級的軌道上填充。在鋰原子處於基態時，為了保證能量儘可能地低，1s 軌道填滿兩個電子之後，就會往 2s 軌道上填。

張朝陽假設這時候 2s 軌道上的電子受到 1s 軌道的電子的遮蔽效果仍然像氦原子中的電子遮蔽那樣，那麼計算出來的第三電子軌道半徑應該是 4/3 玻爾半徑附近。然而實際資料表明，鋰原子的半徑遠遠大於這個值，這說明 2s 電子受到的遮蔽效果並不像氦原子裡的電子那樣小。

張朝陽解釋說，這是因為 2s 電子軌道較大，2s 電子與 1s 電子波函式的交疊比較小，假設 1s 電子一直都是在 2s 電子軌道內部，那麼 2s 電子看到的等效電荷其實是 3-2=1，也就是鋰原子 2s 電子的軌道半徑跟氫原子 2s 軌道半徑是一樣的。可惜的是，實際資料表明鋰原子 2s 電子的軌道半徑還是比氫原子中 2s 電子軌道半徑要小的。最終我們可以得到這樣的影象：鋰原子 2s 電子距離 1s 電子軌道較遠，處於不同的殼層，感受到的原子核電荷被 1s 軌道的 2 個電子強烈遮蔽，但 1s 軌道的電子仍然有機會跑到 2s 電子外，所以 2s 電子感受到的有效核電荷數仍然略大於 1。

氫氦鋰到元素週期表 二氧化碳、氨、水

張朝陽介紹，通過定性研究氦原子與鋰原子的電子排布，可以看出同一殼層與不同殼層的電子之間的斥力所造成的對原子核電荷的遮蔽效應是如何起作用的。

至於包含更多電子的原子，也可以用同樣的方法討論。一個電子感受到的其他電子的斥力，近似地等效於此電子感受到的原子核電荷的變化，這樣就可以忽略電子之間的相互作用，而看作是電子只與核相互作用，電子近似地相互獨立，這樣薛定諤方程又變回單電子的薛定諤方程，並且角向部分與氫原子相同，只是徑向部分的勢能有所變化，從而電子的軌道概念依然存在，只不過由於勢能不再是單純的庫倫勢，能級不僅與 n 有關，且與角量子數 l 也有關。

值得一提的是，對於 l 較大的電子，它離開原子核的平均距離較大，內層電子的遮蔽效應也較大，因此，相對於純庫倫勢的能級分佈，遮蔽庫倫勢中 l 較大的能級往上的移動就大得多，例如 3d 能級可以上升到與 4s，4p 能級靠近而形成第 4 殼層。

▲不同元素的原子半徑

元素週期表中各元素的原子半徑，具有如下變化規律：不同週期的原子，其核外電子的殼層數不同，殼層越多半徑越大。而同一週期的原子都有相同的殼層數，隨著原子序數的增加，核電荷數 Z 變大，核對電子的吸引力變大，半徑就會變小，如下圖：

理解了多電子體系的電子如何排布之後，張朝陽還舉例討論了 C，N，O 原子的電子排布，由此解釋它們為何能與不同數量的氫原子通過共價鍵分別形成二氧化碳、氨氣、水等，這些都是與生命密切相關的非常重要的物質。這也體現了量子力學強大的描述能力。

“從薛定諤方程，到解決氫原子問題，理解原子、元素和元素週期表，再看原子半徑和能級的改變，我們開始有望揭祕世間萬物、理解這個世界最本質的道理。”直播結尾，張朝陽宣佈關於量子力學的討論將告一段落。