問任何一個物理愛好者，什麼是量子力學？他們很可能會提到“薛定諤的貓”。接下來呢？則可能是薛定諤方程。但是這個方程究竟是什麼，為什麼它如此重要，以至於任何一個量子物理學家都會把它記在腦海中？1 月 7 日，在第十八期《張朝陽的物理課》上，搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽在直播間再現薛定諤方程奇妙的發現過程，初步揭祕量子力學的核心理論。

複習經典物理波動方程 回顧德布羅意物質波公式

在直播間裡，張朝陽帶領大家簡單複習前兩節課的要點，並重點回顧經典力學中描述粒子和波的方式。在經典物理中，力的作用導致粒子運動狀態的改變，可以用牛頓第二定律來描述這個改變過程。粒子的運動狀態由位置和速度來表徵，力的作用會改變粒子的速度，從而改變其能量。而在量子力學中，粒子由波函式來描述。在此，張朝陽先向網友介紹了經典力學中對波的描述方式。以一維波為例，在經典力學中，波由相應的波動方程來描述：

上述方程的解具有如下形式：

它示向左傳播和向右傳播的波的疊加。以平面波為例，描述平面波的 2 個主要引數為圓頻率 ω=2πf 和波數 k=2π/λ。其中 λ 為波長，f 為頻率。

▲張朝陽介紹平面波

張朝陽帶著網友回顧德布羅意波的一些關係式：

它們在接下來薛定諤方程的引入中將會用到。

如何猜出薛定諤方程？ 求導和對照是關鍵

“我們努力地猜，當年薛定諤是怎麼想到這個方程的？他看到德布羅意的論文之後，意識到電子應該用波來描述，於是把電磁波的想法轉移過來，猜出了這個方程，最後居然是對的。”張朝陽像說故事一樣引出今天的主題。

德布羅意提出物質波的時候只是給出了波長和動量的關係，但是並沒有推導物質波如何演化。那麼，薛定諤是如何猜出這個方程的呢？直播過程中，張朝陽做了詳細生動的介紹。

他在白板上寫下光電場分量的平面波形式：

他解釋：“結合德布羅意公式，可以將其中的指數部分改寫為”：

這就是薛定諤猜測的物質波的平面波形式。出於簡潔的需求，張朝陽先考慮了一維自由粒子的情況。其能量和動量滿足如下關係：

它在量子力學下是否依然滿足呢？薛定諤對此作出了勇敢的假設，認為這個關係在非相對論量子力學框架內依然成立。那怎樣在波函式上體現出這個關係呢？這就需要先將物質平面波中的動量和能量“取”出來。

至此，張朝陽開始介紹求導得出動量和能量的方法。在平面波的式子中，動量和能量都出現在指數上，但是隻要我們對位置 x 和時間 t 求偏導數，相應的動量和能量不就下來了嗎？於是，張朝陽又展示瞭如下推導：

組合在一起就得到了有關這個平面波函式的方程。張朝陽強調，這個方程是線性偏微分方程，因此，它的各個解的線性組合，依然是原方程的解，這從形式上也符合量子力學的疊加原理。既然這個方程對平面波成立，而一般的波都可以看作是平面波的組合，那麼這個方程對一般的自由物質波也成立。這就得到了一維自由粒子的波動方程：

此時，張朝陽順勢介紹，當存在外部勢場時，能量將不僅包含粒子動能，還應當包含勢能：

其中 U (x,t) 是勢能函式。結合前面的推導，就得到了著名的一維薛定諤方程：

（張朝陽在直播中介紹薛定諤方程的形式）

張朝陽介紹，薛定諤方程不是推匯出來的，而是猜測出來的。它是非相對論量子力學的基本方程，具有公設性質。只有根據薛定諤方程計算出結果，與實驗結果一致，我們才能說這個理論是對的。他還解釋，薛定諤方程的左邊是對時間的一次導數，而右邊是對空間的二次導數，這一點很關鍵。且考慮到因子 i 的存在，波函式不像電磁場那樣是實函式，而是複函式。

統計詮釋和波包速度：波函式的物理意義

不過，即使薛定諤猜出了波動方程，也不知道這個波的物理意義是什麼。張朝陽由此引入量子力學的哥本哈根詮釋，也就是所謂的統計詮釋。

張朝陽介紹，“波函式的模方，表示的是粒子出現在相應位置的概率密度，根據這個概率密度，我們只需要對特定區域積分，就可以得到在該區域上發現粒子的概率。當我們得到粒子的波函式時，我們並不知道粒子具體在哪，我們得到的資訊僅僅是測量後粒子在各位置出現的概率。”他還進一步介紹波函式歸一化的概念。具體地來說，因為整個空間上發現粒子的概率是 1，於是波函式的模方在整個空間上的積分就等於 1。

此外，張朝陽還提到矩陣力學和波動力學的關係，他說，“它們就像一座高山上的兩條路徑”。換言之，矩陣力學和波動力學都是描述量子力學的正確方法，是相互等價的。

張朝陽再次演示，在量子力學中，粒子的速度不再等於 ω/k，而應該等於相應的波的群速度 dω/dk。根據張朝陽的計算，ω/k 實際上等於 v / 2，為粒子速度的一半。如果使用群速度 dω/dk 來計算，則得到了正確的速度 v。他解釋道，這是因為粒子在實際觀測中以波包的形式存在，群速度是描述整個波包的移動速度的，因此正好對應於粒子的速度；而 ω/k 是等相位點的移動速度，不代表粒子的運動速度。

▲張朝陽介紹波包的群速度

“我們今天理解了薛定諤是怎麼猜到薛定諤方程的，也知道描述具有波粒二象性的微觀粒子的波函式。後面，我們只要解這個方程，就能把天下所有事情給它算出來。”直播尾聲，他回顧這一課的主要內容時說。同時他鼓勵網友，量子力學很難懂，“會用很多堂課來講。”據瞭解，下一講他將開始解薛定諤方程，來解釋氫的光譜，求一些波函式的定解，以及薛定諤方程的各種應用。