2 月 18 日 12 時，《張朝陽的物理課》第二十九期準時開播。搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間，探究玻爾茲曼分佈，並以重力場和速度場為例進行講解。

通過建立空氣密度、重力、溫度、壓差之間的關係，推導得到空氣粒子數密度隨重力勢能的分佈；利用速度各分量的獨立性、各向同性、理想氣體狀態方程等，推導得到麥克斯韋速度分佈律，體現粒子數密度隨動能的分佈。兩者均符合玻爾茲曼分佈。這些也為解釋大氣中氫氣含量之低提供了一個物理的視角。

“我們花了很長時間，研究量子力學和它的典型應用。先是氫原子能級，後來是雙原子分子。”張朝陽開場直奔主題，“今天要研究玻爾茲曼在重力場和速度場的分佈。“

玻爾茲曼分佈：高處空氣更稀薄？ 微分方程來建模

上節課，張朝陽利用玻爾茲曼分佈，解釋溫度很低時自由度會被凍結，導致能量均分定理失效，最終得出比熱容隨溫度的階梯圖。同時，計算粒子平均振動能以及普朗克黑體輻射時，也都用到了玻爾茲曼分佈，足見其重要性與普遍性。今天，他想通過兩個關於理想氣體分佈的具體計算例項，來直觀呈現玻爾茲曼分佈。

“先來看看簡單的例子。”張朝陽嘗試計算粒子質量為 m，溫度為 T 的理想氣體，在重力加速度為 g 的重力場下，其數密度 n 隨高度 h 的變化。

他介紹說，在高度為 h 的地方，取一個底面積為 A，高度為 dh 的小層，則這層的體積為 Adh，一共有 nAdh 個粒子，每個粒子受向下的重力 mg，則這層氣體受到的向下的重力為 mgnAdh。另外這層氣體還受到上下兩部分氣體的壓力，設上部分氣體的壓強為 p+dp，下部分氣體的壓強為 p，那麼氣體受到向上的推力為 Ap-A（p+dp）=-Adp，它必須與向下的重力 mgnAdh 相等才可以讓這層氣體受力平衡：

另外，將理想氣體狀態方程 p=nkT 代入上式，然後消掉兩邊的 A，並將右邊的 n 移到左邊後兩邊進行積分，最終得到氣體數密度關於高度的分佈：

mgh 正是氣體在重力場下的勢能。可見大氣中的粒子數密度符合玻爾茲曼分佈。

麥克斯韋速度分佈：各向同性定形式 總數和壓強做歸一

張朝陽還舉了另外一個例子。同樣也是理想氣體，但此氣體沒有重力場等外場勢能，只研究其中粒子在溫度為 T 時的速度分佈，該分佈正是麥克斯韋速度分佈。他邊列公式邊介紹，設一個微小的速度區內的粒子數密度為：

由於理想氣體中的粒子是各向同性的，所以粒子數密度的分佈 f 與粒子速度的方向無關，只與速度的大小有關。他在小白板上寫下：

他解釋，“我們還知道，理想氣體中粒子之間無勢能，而關於它們的碰撞也可以分解為相互獨立的三個分量，所以粒子在三個方向上的速度分佈是相互獨立的，於是又可以將 f 寫成如下形式。”

將上式等號兩邊取對數，可以將右邊乘法變成加法，然後求其關於速度 x 分量的偏導，可得：

同理，對速度 y 與 z 分量求偏導也得到上式等號左邊的量，結合起來就得到：

由於知道 g 函式只與對應的速度分量有關，而速度分量之間又是彼此獨立的，那麼上式只能等於一個與速度分量都無關的常數：

容易解得 g 函式：

將 g 函式帶回 f 的表示式，最終可以得到粒子數密度關於總速度的分佈：

▲利用粒子速度分佈的各向同性與三個方向分量的獨立性推導麥克斯韋速度分佈律

“接下來，我們還需要計算積分常數 A 以及引數 α。”他繼續推導，將所有速度區間的粒子數密度加起來，可以得到理想氣體的總粒子數密度 n：

由此，可以計算得到 A 的具體表達式：

至於引數 α，則需要使用理想氣體狀態方程 p=nkT 來處理，張朝陽利用粒子對 zy 平面的容器壁的碰撞來計算壓強 p。將其它速度其它分量積分可以得到速度 x 分量的分佈：

每個粒子碰撞容器壁後，x 方向上的動量大小相等方向反向，改變數為原動量 x 分量的 2 倍大小。計算所有向 x 正方向碰撞容器壁產生的壓強：

為了繼續化簡，將總粒子數密度 n 表達為 x 方向上的積分：

將此表示式代入 p=nkT 中，化簡便可得到 α 的表示式：

將 A 與 α 代回 f，最終得到麥克斯韋速度分佈的表示式：

若進一步化為關於速度大小的表示式，則如下圖所示：

▲張朝陽推導得到麥克斯韋速度分佈

氫氣在大氣中為何少？ 利用麥克斯韋速度分佈律推導解釋

觀察麥克斯韋速度分佈公式，注意到 e 指數上除 kT 之外就是粒子的動能，這說明此分佈也滿足玻爾茲曼分佈，張朝陽從物理學的角度，利用麥克斯韋速度分佈解釋了氫氣為何在大氣中那麼少。

根據前面計算的粒子數密度關於高度的分佈，由於氫氣分子質量相比空氣中其它分子的質量要小得多，所以其粒子數密度隨高度衰減得沒那麼快，從而氫氣可以爬得更高，再根據麥克斯韋速度分佈律公式，氫氣分子質量小還會導致它在速度較大的情況下仍有可觀的分佈，部分粒子的速度，可以超過第一宇宙速度甚至第二宇宙速度，從而逐漸逃逸，離開地球。這樣氫氣在大氣中的含量就非常少了。

當然，這只是看待該問題的一個角度。實際上，從化學上講，氫較為活潑，容易形成水等許多化合物，從而以其它形式相對固定地存在於地球上，也減少了它以單質形式存在於大氣中的量。實際上，用原子質量較小但化學上更惰性的氦氣作為例子，可以更好地體現這一物理規律的影響。

可以看到，在本節課中的兩個例子都符合玻爾茲曼分佈，其中一個 e 指數上的能量是粒子的勢能，而另一個則是粒子的動能，可見玻爾茲曼具有普適性，下節課將具體講解如何匯出玻爾茲曼分佈。直播結尾，張朝陽總結課程內容，“這是能量差和 kT 的戰爭。”