P3200 [HNOI2009]有趣的數列

2017-09-17

題目描述

我們稱一個長度為2n的數列是有趣的，當且僅當該數列滿足以下三個條件：

(1)它是從1到2n共2n個整數的一個排列{ai}；

(2)所有的奇數項滿足a1<a3<...<a2n-1，所有的偶數項滿足a2<a4<...<a2n；

(3)任意相鄰的兩項a2i-1與a2i(1<=i<=n)滿足奇數項小於偶數項，即：a2i-1<a2i。

現在的任務是：對於給定的n，請求出有多少個不同的長度為2n的有趣的數列。因為最後的答案可能很大，所以只要求輸出答案 mod P的值。

輸入輸出格式

輸入格式：

輸入文件只包含用空格隔開的兩個整數n和P。輸入數據保證，50%的數據滿足n<=1000，100%的數據滿足n<=1000000且P<=1000000000。

輸出格式：

僅含一個整數，表示不同的長度為2n的有趣的數列個數mod P的值。

輸入輸出樣例

3 10

5         
對應的5個有趣的數列分別為（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

卡特蘭數的題,上網找公式;C(n,2*n)/(n+1)%p,一開始看到組合數就想乘法逆元但是p不是質數,好痛楚啊.最少得用歐拉
換一個思路，如果都是乘法就避免逆元了.於是數組質因數模擬乘法次數,分子上+1,分母-1直接上乘法mod
 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=2000000+999;
int read(){
    int an=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    
 
while(‘0‘<=ch&&ch<=‘9‘){an=an*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return an*f;
}
int n,P,cnt;
ll ans=1;
int maxp[maxn],pri[maxn],con[maxn];//maxp[i]表示i最大分解的質數編號 
bool pd[maxn<<1];
void Cirno(){
    for(int i=2;i<=2*n;i++){
        if(!pd[i])cnt++,pri[cnt]=i,maxp[i]=cnt;
        for(int j=1;j<=cnt;j++){
            if(i*pri[j]>2*n)break;
            pd [i*pri[j]] =1;
            maxp [i*pri[j]] = j;
            if(! (i%pri[j]) )break;
        }
    }
}
void add(int x,int d){
    while(x!=1){    
        con[ maxp[x] ]+=d;
        x/=pri[ maxp[x] ];
    }
}

int main(){
    n =read();P=read();
    Cirno();
    for(int i=2*n;i>n;i--)add(i,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)add(i,-1);
    add(n+1,-1);
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        while(con[i])con[i]--,ans=ans*pri[i]%P;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

by:s_a_b_e_r

卡特蘭數。（並不知道怎麽推出來的）
n2遞推式TLE，線性遞推式因為p不一定是質數於是也不能用，只能直接求
但是這個p不是質數超級麻煩qwq。不能直接求，要分解質因數
因為這題原因不會有分解後除完某個數出現小數的情況（忘了怎麽證的了qwq），所以可以放心乘
（順帶一提代碼裏mn[i]存的是i最大的質因數）

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=2000000;
int n,p,cnt;
int pri[N],a[N],mn[N];
bool isp[N];
long long ans=1;
void prime()
{
    for(int i=2;i<=2*n;++i)
    {
        if(!isp[i])pri[++cnt]=i,mn[i]=cnt;
        for(int j=1;j<=cnt;++j)
        {
            if(i*pri[j]>2*n)break;
            isp[i*pri[j]]=1;
            mn[i*pri[j]]=j;
            if(i%pri[j]==0)break;
        }
    }
}
void add(int k,int v)
{
    while(k!=1)
    {
        a[mn[k]]+=v;
        k/=pri[mn[k]];
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    prime();
    for(int i=n+1;i<=2*n;++i)add(i,1);
    for(int i=1;i<=n+1;++i)add(i,-1);
    for(int i=1;i<=cnt;++i)
    while(a[i]--)ans=(ans*pri[i])%p;
    cout<<ans;
    return 0;
} 

by:wypx

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