標籤：數學，數論，卡特蘭數，組合數，素數篩

Description

 我們稱一個長度為2n的數列是有趣的，當且僅當該數列滿足以下三個條件：

    (1)它是從1到2n共2n個整數的一個排列{a_i}；

    (2)所有的奇數項滿足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶數項滿足a₂<a₄<…<a_2n；

    (3)任意相鄰的兩項a_2i-1與a_2i(1≤i≤n)滿足奇數項小於偶數項，即：a_2i-1<a_2i。

    現在的任務是：對於給定的n，請求出有多少個不同的長度為2n的有趣的數列。因為最後的答案可能很大，所以只要求輸出答案 mod P的值。

Input

輸入檔案只包含用空格隔開的兩個整數n和P。輸入資料保證，50%的資料滿足n≤1000，100%的資料滿足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

僅含一個整數，表示不同的長度為2n的有趣的數列個數mod P的值。

Sample Input

    310                 

Sample Output

  5

    對應的5個有趣的數列分別為（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

大膽玄學猜想：答案就是卡特蘭數！事實證明的確如此

具體證明：從左往右掃每個數，把放在奇數項看作入棧，放在偶數項看作出棧（妙不可言……）

然後需要O（n）求出卡特蘭數

百度公式： F(n)=C(2n,n)/(n+1)

將C(2n,n)質因數分解，記錄下每個質因數的個數，最後再相乘取模即可

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define LL long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
using namespace std;
inline LL read()
{
	LL f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const LL maxn=1e6+6;
LL ans=1,n,p,cnt=0;
LL prime[maxn],mn[maxn<<1],num[maxn<<1];
bool not_prime[maxn<<1];

void getpri()
{
	rep(i,2,2*n){
		if(!not_prime[i])prime[++cnt]=i,mn[i]=cnt;
		for(int j=1;prime[j]*i<=2*n&&j<=cnt;j++){
			not_prime[prime[j]*i]=1;mn[prime[j]*i]=j;
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
}

void add(int x,int f)
{
	while(x!=1){
		num[mn[x]]+=f;
		x/=prime[mn[x]];
	}
}

int main()
{
	n=read(),p=read();
	getpri();
	dep(i,2*n,n+1)add(i,1);
	rep(i,1,n)add(i,-1);
	add(n+1,-1);
	rep(i,1,cnt)
	    while(num[i]--)ans=(ans*prime[i])%p;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}