1045: [HAOI2008] 糖果傳遞

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Description

有n個小朋友坐成一圈，每人有ai個糖果。每人只能給左右兩人傳遞糖果。每人每次傳遞一個糖果代價為1。

Input

第一行一個正整數nn<=1‘000‘000，表示小朋友的個數．

接下來n行，每行一個整數ai，表示第i個小朋友得到的糖果的顆數．

Output

求使所有人獲得均等糖果的最小代價。

Sample Input

4
1
2
5
4

Sample Output

4

題解

最終每個小朋友的糖果數等於平均數，假設編號為i的小朋友開始有Ai個糖果。Xi表示第i個小朋友給了第i-1個小朋友Xi個糖果，Xi<0表示第i-1個小朋友給了第i個小朋友|Xi|個糖果。則最終的答案ans=|X1|+|X2|+……+|Xn|。

對於第一個小朋友，他給了第n個小朋友X1個糖果，得到第2個小朋友的X2個糖果，最終還剩A1-X1+X2個糖果，即ave個糖果，所以得到方程A1-X1+X2=ave。

同理可得A2-X2+X3=ave......

所以得到：

X2=ave-A1+X1=X1-C1 (C1=A1-ave)

X3=ave-A2+X2=ave-A2+(ave-A1+X1)=X1-C2 (C2=A1+A2-2*ave)

X4=X1-C3 (C3=A1+A2+A3-3*ave)

……

所以ans=|X1|+|X1-C1|+|X1-C2|+......+|X1-Cn-1|，要使ans盡可能小。因為|X1-Ci|的幾何意義是數軸上點X1到Ci的距離，所以問題轉化為：給定數軸上n個點，找出一個點到各點距離和最小。所以這個點就是中位數。

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1000005;
int n,ave;
int a[N],f[N];
LL sum,ans;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		sum+=a[i];
	}
	ave=sum/n;
	for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=f[i-1]+a[i-1]-ave;
	sort(f+1,f+n+1);
	int mid=n/2+1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans+=abs(f[i]-f[mid]);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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