題目描述

有n個小朋友坐成一圈，每人有ai個糖果。每人只能給左右兩人傳遞糖果。每人每次傳遞一個糖果代價為1。

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小朋友個數n 下面n行 ai

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求使所有人獲得均等糖果的最小代價。

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4
1
2
5
4

4

首先，最終每個小朋友的糖果數量可以計算出來，等於糖果總數除以n，用ave表示。

假設標號為i的小朋友開始有Ai顆糖果，Xi表示第i個小朋友給了第i-1個小朋友Xi顆糖果，如果Xi<0，說明第i-1個小朋友給了第i個小朋友Xi顆糖果，X1表示第一個小朋友給第n個小朋友的糖果數量。 所以最後的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。 對於第一個小朋友，他給了第n個小朋友X1顆糖果，還剩A1-X1顆糖果；但因為第2個小朋友給了他X2顆糖果，所以最後還剩A1-X1+X2顆糖果。根據題意，最後的糖果數量等於ave，即得到了一個方程：A1-X1+X2=ave。

同理，對於第2個小朋友，有A2-X2+X3=ave。最終，我們可以得到n個方程，一共有n個變量，但是因為從前n-1個方程可以推導出最後一個方程，所以實際上只有n-1個方程是有用的。

盡管無法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那麽本題就變成了單變量的極值問題。

對於第1個小朋友，A1-X1+X2=ave -> X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假設C1=A1-ave，下面類似）

對於第2個小朋友，A2-X2+X3=ave -> X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2

對於第3個小朋友，A3-X3+X4=ave -> X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3

…… 對於第n個小朋友，An-Xn+X1=ave。

我們希望Xi的絕對值之和盡量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要盡量小。註意到|X1-Ci|的幾何意義是數軸上的點X1到Ci的距離，所以問題變成了：給定數軸上的n個點，找出一個到他們的距離之和盡量小的點，而這個點就是這些數中的中位數，證明略。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//input by bxd
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define
 
 repp(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
#define RI(n) scanf("%d",&(n))
#define RII(n,m) scanf("%d%d",&n,&m)
#define RIII(n,m,k) scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)
#define RS(s) scanf("%s",s);
#define ll long long
#define pb push_back
#define REP(i,N)  for(int i=0;i<(N);i++)
#define CLR(A,v)  memset(A,v,sizeof A)
//////////////////////////////////
#define inf 0x3f3f3f3f
#define lson l,m,pos<<1
#define rson m+1,r,pos<<1|1
const int N=1e6+5;
int a[N],b[N];
int main()
{
    int n;RI(n);
    ll sum=0;
    rep(i,1,n)
    RI(a[i]),sum+=a[i];
    sum/=n;
    rep(i,1,n)
    b[i]=b[i-1]-a[i]+sum;
    sort(b+1,b+1+n);
    ll mid=b[(n+1)/2];
    ll ans=0;
    rep(i,1,n)ans+=abs(b[i]-mid);
    cout<<ans;

    return 0;
}

P2512 [HAOI2008]糖果傳遞 題解 數學