Fibonacci數列問題
Fibonacci數列的解法：
1、遞歸算法
遞歸的概念，我說不清楚，語文不好。但是核心思想，我認為就是入棧出棧。比方說，你想要求得某個結果，如果一步求解不出來，那麽先把最後一步的計算步驟進棧，先不考慮 它。轉而去想，在求解最後一步之前的那一步應該怎麽去做，就好比冬天穿衣服，再最後一步穿羽絨服之前我想大部分人會先穿一個羊毛衫（要是較真的話，內衣你應該會穿的吧）。這樣，我們先把羽絨服放在一邊（進棧），先去準備穿羊毛衫。然後，我們又發現在穿羊毛衫之前，我得穿個保暖內衣啊。好，我們再將羊毛衫先放一邊（再進棧，此時羊毛衫在羽絨服上面放著）。這時候，我們穿上了保暖內衣，ok一下個——>棧的後入先出規則表示下一個我應該穿羊毛衫，ok穿上再下一個——>羽絨服。。。（下半身的穿衣流程類似，可能多一個胖次，自行腦補思考）。
所以你看，現實當中很多時候的事情不是一下就可以完成的，而是需要一步一步的去完成，程序更是如此。你設計的代碼，目的就是為了解決一個問題，在解決的過程中，會要進行很多的步驟，遞歸也是這樣，只是它在解決問題之前一直在調用自身。
來看一下這個Fibonacci數列：
Fibonacci數列的遞推公式為：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=F2=1。
當n比較大時，Fn也非常大，現在我們想知道，Fn除以10007的余數是多少。
第一步，n是多少。按照題目意思，自己輸入n。
第二步，怎麽求，這裏我假設有這麽一個方法就叫做Fibonacci（int n），return一個int，將n傳進去之後，經過這個方法後，我就得到了Fn。
第三步，分析一下，Fn=Fn-1+Fn-2=Fn-2+Fn-3+Fn-3+Fn-4=..........所以，要求Fn（羽絨服），先去求Fn-1和Fn-2（羊毛衫），要求Fn-1就要先去求Fn-2和Fn-3，以此類推，暫時 求不出來的，統統依次入棧，最後發現要求F3，我得先求F2和F1（F3入棧）。OK，F1=F2=1，F3就求出來了（F3出棧），又F4=F3+F2，F4也求得出來了（F4出棧）.......之前入 棧的那些步驟，再依次出棧進行計算，直到Fn被求出來，計算Fn%10007本題結束。
第四步，放代碼：
import java.util.Scanner;
public class Fibonacci {
//Fibonacci數列 遞歸算法
public static int Fibonacci (int n){
if(n==1||n==2){
return 1;
} else{
//操作入棧出棧的核心，遞歸調用
n = Fibonacci (n-1)+Fibonacci (n-2);
return n;
}
}
public static void main(String[] args) {
while(true){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n；
n = scanner.nextInt();
int k = Fibonacci (n);
System.out.println(k%10007);
}
}
}
2、整數求余
遞歸的算法雖然代碼簡潔，但是有一個比較不太好的地方，就是執行的效率很低，它是自身層層深入的調用，在時間和空間上的復雜度都很高，而且計算的重復性操作很多，在計算機內部還很有可能造成棧溢出的現象。比方說，用遞歸的方法計算N階計算的時候，當N的值越來越大，很可能計算機就罷工了。
所以，本著遞歸和循環理論相同的原則，結合整數求余的規律，將代碼改進如下：
import java.util.Scanner;
public class Fibonacci {
//Fibonacci數列 求余算法
public static int Fibonacci(int n){
int[] F = new int[n+1];//n+1是為了不讓數組出現越界
F[1]=F[2]=1;
for(int i=3;i<=n;i++){
F[i] = (F[i-1] + F[i-2])%10007;
}
return F[n];
}
public static void main(String[] args) {
while(true){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n;
n = scanner.nextInt();
System.out.println(Fibonacci(n));
}
}
}
在方法裏面定義一個長度為n+1的int型數組，用來存儲數列的值，其中n+1是為了防止數組在執行過程當中產生越界的現象。然後，方法裏面的核心在於整數求余的計算，即：
F[i] = (F[i-1] + F[i-2])%10007;
為什麽這樣寫？當代碼改進成這樣時，我們就不需要先求得Fn的值再去取余數，而是直接在for循環中，直接就能將取余的運算執行，當循環結束。最後得到的Fn，就是數列中第N個數取余的結果。
為什麽可以這樣寫？這裏面是有整數取余運算的規律的，舉個例子，1%10取余數就是1，2%10就是2，3%10就是3，那是不是3%10=1%10+2%10？再多舉幾個例子來進行驗證：
5%10=5；10%10=0；15%10=5=5%10+10%10；
21%10=1；32%10=2；53%10=3=21%10+32%10；
57%7=1；89%7=5；146%7=6=57%7+89%7;
......
可以看到，好像的確是這樣，這當中的原理，其實你思考一下是可以理解的，但是我說不太清楚，害怕誤人子弟，想要深入理解，可以百度。
附加我找的一位前輩的博客鏈接，記錄了取余運算規則：https://blog.csdn.net/ash_zheng/article/details/38541777
暫時就寫到這了，歡迎評論交流，互相學習，哈哈。
Fibonacci數列問題