邊緣概率函式

阿新 • • 發佈：2018-10-31

設(X,Y)的概率分佈為 $p\left \{X=x_{i},Y=y_{j} \right \}=p_{ij},,,i,j=1,2...$ 則有 $p\left \{X=x_{i}\right \}\left =P\left \{ X=x_{i},\bigcup_{j=1}^{\infty }\left \{ Y=y_{i} \right \} \right \}=P\left \{ \bigcup_{j=1}^{\infty} \left \{ X=x_{i},Y=y_{j} \right \}\right \}$ 。

由於事件X,Y互不相容，故 $p\left \{X=x_{i}\right \}\left =\sum_{j=1}^{\infty }P\left \{ X=x_{i}, Y=y_{i} \right \}=\sum_{j=1}^{\infty }p_{ij}$ ，記做 $\sum_{j=1}^{\infty }p_{ij}=p_{i\cdot }(i=1,2,...)$

則有 $P\left \{ X=x_{i} \right \}=p_{i\cdot },i=1,2,\cdots$ ,同理Y

定義2.3

設二維離散型隨機變數（X,Y）的概率分佈為 $P\left \{ X=x_{i},Y=y_{j} \right \}=p_{ij },i,j=1,2,\cdots$

隨機變數X和Y的概率分佈為 $P\left \{ X=x_{i} \right \}=p_{i\cdot },i=1,2,\cdots$ ， $P\left \{Y=y_{j} \right \}=p_{\cdot j },j=1,2,\cdots$

分別稱為（X,Y)關於X和關於Y的邊緣概率分佈或邊緣分佈律。

隨機變數的獨立性

設二維離散型隨機變數（X,Y）的概率分佈為 $P\left \{ X=x_{i},Y=y_{j} \right \}=p_{ij },i,j=1,2,\cdots$ ，（X,Y)關於X和關於Y的邊緣概率分佈依次為 $P\left \{ X=x_{i} \right \}=p_{i\cdot },i=1,2,\cdots$ ， $P\left \{Y=y_{j} \right \}=p_{\cdot j },j=1,2,\cdots$ ，則隨機變數X和Y相互獨立的充要條件是：對任意i,j，都有 $P\left \{X=x_{i},Y=y_{j} \right \}=P\left \{X=x_{i}\right \}P\left \{Y=y_{j} \right \},j=1,2,\cdots$ ，即 $p_{ij}=p_{i\cdot }p_{\cdot j},i,j=1,2\cdots$

邊緣概率密度

設二維連續型隨機變數（X,Y）的分佈函式為F（x,y）,概率密度為f(x,y)，由於 $F_{X}\left ( x \right )=F(x,+\infty )=\int_{-\infty }^{x}\left [ \int_{-\infty }^{+\infty }f(u,y)dy \right ]du$ ,所以X是一個連續型隨機變數，其概率密度為 $f_{X}\left ( x \right )=\int_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$

，同理Y也是連續型隨機變數，其概率密度為 $f_{Y}\left ( y \right )=\int_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$

隨機變數X,Y相互獨立的充要條件是：對任意x,y∈R，都有 $f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}\left ( y \right )$

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