希爾伯特變換在MATLAB中的應用

一、基本理論

　　A-Hilbert變換定義

對於一個實訊號x(t)，其希爾伯特變換為：

x~(t)=x(t)∗1πt

式中*表示卷積運算。

Hilbert本質上也是轉向器，對應頻域變換為：

1πt⇔j⋅sign(ω)

即餘弦訊號的Hilbert變換時正弦訊號，又有：

1πt∗1πt⇔j⋅sign(ω)⋅j⋅sign(ω)=−1

即訊號兩次Hilbert變換後是其自身相反數，因此正弦訊號的Hilbert是負的餘弦。

對應解析訊號為：

z(t)=x(t)

+jx~(t)z(t)=x(t)+jx~(t)

此操作實現了訊號由雙邊譜到單邊譜的轉化。

　　B-Hilbert解調原理

設有窄帶訊號：

x(t)=a(t)cos[2πfst+φ(t)]

其中fs是載波頻率，a(t)是x(t)的包絡，φ(t)是x(t)的相位調製訊號。由於x(t)是窄帶訊號，因此a(t)也是窄帶訊號，可設為：

a(t)=[1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]

式中，fm為調幅訊號a(t)

的頻率分量，γmγm為fmfm的各初相角。

對x(t)進行Hilbert變換，並求解解析訊號，得到：

z(t)=ej[2πfs+φ(t)][1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]

設

A(t)=[1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]

Φ(t)=2π

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