關於希爾伯特的元數學思想（修改稿）   

 大家知道，希爾伯特倡導的形式主義與有限主義原則是當今數學基礎三大支柱理論：“證明論”、“模型論”與“遞迴論”的基本原理。

 應當認為，希爾伯特是當代數學的先驅。哥德爾與塔爾斯基都是後來人。有興趣的讀者，請見本文附件。袁萌  陳啟清  12月26日                                         

附件：關於希爾伯特的元數學思想

 今天是2月14日，是希爾伯特逝世75週年的紀念日。我們用什麼實際行動來紀念他？

 紀念希爾伯特最好的實際行動就是學習、研究他的學術思想，真正學懂、吃透。

 希爾伯特關於第一篇證明論的工作是1922年發表的，在《數學的新基礎：第一篇》中，他論述如何把數論用有限方法討論，而數學本身卻一般須用超窮方法。他指出，用符號邏輯方法可以把命題和證明加以形式化，而把這些形式化的公式及證明直接當做研究物件（注：這句話就是證明論的基本思想！）。在1922年在德國自然科學家協會萊比錫會議上，他做了《數學的邏輯基礎》的演講，更進一步提出了數學證明的方法：要求採取有限主義步驟，即經過有限步不推出矛盾來即為證明是可靠的（判斷標準），這稱為希爾伯特的巨集偉“計劃”，也就是數理邏輯證明論（即元數學）的基本思想。

 希爾伯特建議兩條最基本的原則：一、形式主義原則：所有符號完全看做沒有意義的內容，即使將符號、公式或證明的任何有意的意義或可能的解釋也不管，而只是把它們看作純粹的形式物件（注：要吃透“形式物件”的意思！），研究它們的結構性質；二、有限主義原則，即總能在有限機械步驟之內驗證形式理論之內一串公式是否為一個證明。應用數學方法於這樣一個形式理論（或系統），避免涉及無窮的推斷，這就排除了康托爾集合論的超窮方法。這個思想是隻應用靠得住的方法，因為要證明數學或其一部分無矛盾的方法是大家公認可靠的，整個數學才有牢固的基礎。

袁萌  2018年2月14日