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綜述

電腦螢幕是2D表面，必須將OpenGL渲染的3D場景作為2D影象投影到計算機螢幕上，所以就需要用到投影變換$M_p$。首先，$M_p$將所有頂點資料從眼睛座標轉換為裁剪座標。然後，這些裁剪座標的各分量（x,y,z）通過除以w分量被變換到規範化座標（NDC）。所以$M_p$其實做了兩步操作：

1. 將相機空間座標變換到投影空間
2. 將投影空間座標變換到NDC空間

因此，我們必須記住裁剪（視錐體剔除）和NDC變換都整合到了$M_p$變換中，下面的章節描述了怎樣從left、right、bottom、top、near、far這6個引數構造投影矩陣$M_p$。需要注意的是視錐裁剪是在各個分量($x_{}$

透視投影

在透視投影中，一個3D點在從金字塔平截頭視錐體空間（相機空間）被對映到一個立方體空間（NDC）;其各分量範圍被如下對映： x: [l,r]->[-1,1] y: [b,t]->[-1,1] z: [-n,-f]->[-1,1]

注意，相機空間是在右手座標系中定義的，但是NDC使用的是左手座標系。也就是說，原點處的相機沿著相機空間中$-Z$軸看，但是在NDC空間中它是看向$+Z$軸的。由於**glFrustum()**的near和far引數只接受正數，所以我們需要在構造投影矩陣的時候讓Z軸反向。

在OpenGL中，一個在相機空間的3D點會被投影到近平面（投影平面）上。下圖展示瞭如何將相機空間中的點$(x_e,y_e,z_e)$投影到近平面上$(x_p,y_p,z_p)$。

從視錐體的頂檢視來看，相機空間的x座標，$x_e$

從視錐體的側檢視來看，$y_p$也是類似的方式計算：

注意，$x_p和y_p$取決於$z_e$；他們與$-z_e$成反比。換句話說，他們都被$-z_e$除。這是構造投影矩陣$M_p$的第一條線索。在通過乘以$M_p$矩陣來變換眼睛座標系之後，裁剪座標仍然是齊次座標。它最終需要變為歸一化裝置座標（NDC），所以還需要除以裁剪座標的$w$分量。

因此，我們可以將裁剪座標的$w$分量設定為$-z_e$。並且，$M_p$矩陣的第4行變為$(0,0,-1,0)$。

接下來，我們將$x_p$和$y_p$對映到具有線性關係的NDC空間的$x_n$和$y_n$: [l，r]⇒[-1,1] [b，t]⇒[-1,1]

然後，我們將$x_p$、$y_p$代入上述方程式。

注意，我們使每個方程都除以$-z_e$，以進行透視除法$(x_c/w_c,y_c/w_c)$.我們之前將$w_c$設定為$-z_e$，並且括號內術語變為裁剪座標系的$x_c$和$y_c$。

從這些方程式中，我們可以找到$M_p$的第1行和第2行。 現在，我們只有用第3行的$M_p$來解決。$z_n$與其他演算法略有不同，因為相機空間中的$z_e$總是被投影到近平面上的$-n$。但是我們需要用於裁剪和深度測試的唯一$-z$值，並且在以後我們不會去逆變換深度值。由於我們知道z不依賴於x或y值，因此我們借用$w$分量來找到$z_n$和$z_e$之間的關係,可以像下面這樣指定$M_p$的第3行。 在相機空間中，$w_e=1.0$因此等式變為： $z_n= \frac{Az_e+B}{-z_e}$ 為了找到係數A和B，我們使用$(z_e,z_n)$的關係；$(-n,-1)$和$(-f,1)$，並將它們放入上面的等式中。 為了求解A和B的等式，重寫B的等式（1）: $B=An-n (1')$ 將方程（1’）代入方程（2）中的B，然後求解A: 將A放入方程（1）中以找到B ：

我們找到了A和B，因此$z_e$和$z_n$的變換如下： 最終，我們找到了全部$M_p$矩陣的元素，完成的矩陣如下所示： 上述矩陣是通用的視錐體矩陣。如果視錐是對稱的（$r=-l$和$t=-b$），那麼它可以被簡化為如下矩陣：

在離開之前，請再看一下等式（3）中