OpenGL中，有一個函式叫frustum，字面的意思是截錐體，也就是一個去掉頭部的錐體，如下圖所示，

看了一下《計算機圖形學》（英文名Computer Graphics with OpenGL）的透視投影推導過程，比較全面，各種情況都有描述。不過最近又參考了網上的一些資料，發現這裡【1】的推導過程比較單純直接。我們看一下，

注意到上面這個圖，觀察者的位置相對於(0,0,0）這個點是在右邊的，也就目光是沿Z軸方向（所以距離 眼睛越近，顯得越大嘛），OpenGL的camera也就是（0，0，0）點，沿-Z方向。

把xe對映到xp，ye對映到yp是這樣的，

    式（1）

通過Mprojection矩陣，把eye座標投影到NDC空間(Normalized

注意下上面的ndc和clip座標系之間，只差了一個係數 wclip，他們都是3維齊次座標【2】。下面這個方程中，c就是clip，變換矩陣的第4行設定為(0, 0, -1, 0)，為什麼呢？因為這一行實際上只處理係數wc，看前面我們知道xp與yp分別和（-Ze）成反比，所以這裡我們也期望，wc和（-ze）成反比，且最後能歸一化wc/(-ze)=1。

接下來的一步，就是完成xp，yp到xn，yn的歸一化對映：[l, r] ⇒ [-1, 1] and [b, t] ⇒ [-1, 1]，首先來看對映[l, r] ⇒ [-1, 1]，如下圖

這是一個非常簡單的線性對映，寫成方程式就是，

其中就是xp=0時在xn軸上的截距，根據對映，當xp=r時，xn=1，代入到該式中，就可以得到，

然後變換一下格式，

現在把代回最上面那個式子，就得到了，

 式（2）

同樣的道理，可以得到

         式（3）

把式（2），式（3）代回到式（1），就得到這樣一個結果，

這兩個結果，結合我們前面得到的wc=-ze，整個矩陣就可以等價地寫成下面的形式，

現在只有矩陣的第3行是未知的，我們這樣處理，

因為在eye的空間，we=1（w是一個和透視距離有關的量，0表示無窮遠點，參考【2】），所以，

，和上面的道理類似，對映  (ze, zn)滿足範圍為近點=(-n, -1)，遠點= (-f, 1), 

求解該線性方程組，得到，

這樣，得到

 式（4）

最後得到的矩陣就可以寫成

這個矩陣，也正是我們frustum函式變換所採用的矩陣。

這裡也順便提一下Z-finghting。根據式（4），Zn和Ze的關係為

因此，當[-n, -f]的距離比較大的時候，因為有理數取值都有誤差，在遠點就容易形成z-finghting，也就是當兩個實體在遠點有交接時，因為誤差產生的距離抖動，無法準確得到交接線從而產生類似下圖的結果，

本文結束。

參考