Python實現邏輯迴歸(Logistic Regression in Python)
本文基於yhat上Logistic Regression in Python，作了中文翻譯，並相應補充了一些內容。本文並不研究邏輯迴歸具體演算法實現，而是使用了一些演算法庫，旨在幫助需要用Python來做邏輯迴歸的訓練和預測的讀者快速上手。
邏輯迴歸是一項可用於預測二分類結果(binary outcome)的統計技術，廣泛應用於金融、醫學、犯罪學和其他社會科學中。邏輯迴歸使用簡單且非常有效，你可以在許多機器學習、應用統計的書中的前幾章中找到個關於邏輯迴歸的介紹。邏輯迴歸在許多統計課程中都會用到。
我們不難找到使用R語言的高質量的邏輯迴歸例項，如UCLA的教程R Data Analysis Examples: Logit Regression
本文介紹瞭如何使用Python來完成邏輯迴歸。
簡介
示例程式碼中使用了一些演算法包，請確保在執行這些程式碼前，你的電腦已經安裝瞭如下包:
- numpy: Python的語言擴充套件，定義了數字的陣列和矩陣
- pandas: 直接處理和操作資料的主要package
- statsmodels: 統計和計量經濟學的package，包含了用於引數評估和統計測試的實用工具
- pylab: 用於生成統計圖
邏輯迴歸的例項
資料集中的前三列可作為預測變數(predictor variables)：
gpagre分數rank表示本科生母校的聲望
第四列admit則是二分類目標變數(binary target variable)，它表明考生最終是否被錄用。
載入資料
使用 pandas.read_csv載入資料，這樣我們就有了可用於探索資料的DataFrame。
import pandas as pd import statsmodels.api as sm import pylab as pl import numpy as np # 載入資料 # 備用地址: http://cdn.powerxing.com/files/lr-binary.csv df = pd.read_csv("http://www.ats.ucla.edu/stat/data/binary.csv") # 瀏覽資料集 print df.head() # admit gre gpa rank # 0 0 380 3.61 3 # 1 1 660 3.67 3 # 2 1 800 4.00 1 # 3 1 640 3.19 4 # 4 0 520 2.93 4 # 重新命名'rank'列，因為dataframe中有個方法名也為'rank' df.columns = ["admit", "gre", "gpa", "prestige"] print df.columns # array([admit, gre, gpa, prestige], dtype=object)
注意到有一列屬性名為rank，但因為rank也是pandas
dataframe中一個方法的名字，因此需要將該列重新命名為”prestige”.
統計摘要(Summary Statistics) 以及 檢視資料
現在我們就將需要的資料正確載入到Python中了，現在來看下資料。我們可以使用pandas的函式describe來給出資料的摘要–describe與R語言中的summay類似。這裡也有一個用於計算標準差的函式std，但在describe中已包括了計算標準差。
我特別喜歡pandas的pivot_table/crosstab聚合功能。crosstab可方便的實現多維頻率表(frequency
tables)(有點像R語言中的table)。你可以用它來檢視不同資料所佔的比例。
# summarize the data
print df.describe()
# admit gre gpa prestige
# count 400.000000 400.000000 400.000000 400.00000
# mean 0.317500 587.700000 3.389900 2.48500
# std 0.466087 115.516536 0.380567 0.94446
# min 0.000000 220.000000 2.260000 1.00000
# 25% 0.000000 520.000000 3.130000 2.00000
# 50% 0.000000 580.000000 3.395000 2.00000
# 75% 1.000000 660.000000 3.670000 3.00000
# max 1.000000 800.000000 4.000000 4.00000
# 檢視每一列的標準差
print df.std()
# admit 0.466087
# gre 115.516536
# gpa 0.380567
# prestige 0.944460
# 頻率表，表示prestige與admin的值相應的數量關係
print pd.crosstab(df['admit'], df['prestige'], rownames=['admit'])
# prestige 1 2 3 4
# admit
# 0 28 97 93 55
# 1 33 54 28 12
# plot all of the columns
df.hist()
pl.show()執行程式碼後，繪製的柱狀統計圖如下所示：
使用pylab繪製的柱狀統計圖
虛擬變數(dummy variables)
虛擬變數，也叫啞變數，可用來表示分類變數、非數量因素可能產生的影響。在計量經濟學模型，需要經常考慮屬性因素的影響。例如，職業、文化程度、季節等屬性因素往往很難直接度量它們的大小。只能給出它們的“Yes—D=1”或”No—D=0”，或者它們的程度或等級。為了反映屬性因素和提高模型的精度，必須將屬性因素“量化”。通過構造0-1型的人工變數來量化屬性因素。
pandas提供了一系列分類變數的控制。我們可以用get_dummies來將”prestige”一列虛擬化。
get_dummies為每個指定的列建立了新的帶二分類預測變數的DataFrame，在本例中，prestige有四個級別：1，2，3以及4（1代表最有聲望），prestige作為分類變數更加合適。當呼叫get_dummies時，會產生四列的dataframe，每一列表示四個級別中的一個。
# 將prestige設為虛擬變數
dummy_ranks = pd.get_dummies(df['prestige'], prefix='prestige')
print dummy_ranks.head()
# prestige_1 prestige_2 prestige_3 prestige_4
# 0 0 0 1 0
# 1 0 0 1 0
# 2 1 0 0 0
# 3 0 0 0 1
# 4 0 0 0 1
# 為邏輯迴歸建立所需的data frame
# 除admit、gre、gpa外，加入了上面常見的虛擬變數（注意，引入的虛擬變數列數應為虛擬變數總列數減1，減去的1列作為基準）
cols_to_keep = ['admit', 'gre', 'gpa']
data = df[cols_to_keep].join(dummy_ranks.ix[:, 'prestige_2':])
print data.head()
# admit gre gpa prestige_2 prestige_3 prestige_4
# 0 0 380 3.61 0 1 0
# 1 1 660 3.67 0 1 0
# 2 1 800 4.00 0 0 0
# 3 1 640 3.19 0 0 1
# 4 0 520 2.93 0 0 1
# 需要自行新增邏輯迴歸所需的intercept變數
data['intercept'] = 1.0
這樣，資料原本的prestige屬性就被prestige_x代替了，例如原本的數值為2，則prestige_2為1，prestige_1、prestige_3、prestige_4都為0。
將新的虛擬變數加入到了原始的資料集中後，就不再需要原來的prestige列了。在此要強調一點，生成m個虛擬變數後，只要引入m-1個虛擬變數到資料集中，未引入的一個是作為基準對比的。
最後，還需加上常數intercept，statemodels實現的邏輯迴歸需要顯式指定。
執行邏輯迴歸
實際上完成邏輯迴歸是相當簡單的，首先指定要預測變數的列，接著指定模型用於做預測的列，剩下的就由演算法包去完成了。
本例中要預測的是admin列，使用到gre、gpa和虛擬變數prestige_2、prestige_3、prestige_4。prestige_1作為基準，所以排除掉，以防止多元共線性(multicollinearity)和引入分類變數的所有虛擬變數值所導致的陷阱(dummy
variable trap)。
# 指定作為訓練變數的列，不含目標列`admit`
train_cols = data.columns[1:]
# Index([gre, gpa, prestige_2, prestige_3, prestige_4], dtype=object)
logit = sm.Logit(data['admit'], data[train_cols])
# 擬合模型
result = logit.fit()
在這裡是使用了statesmodels的Logit函式，更多的模型細節可以查閱statesmodels的文件
使用訓練模型預測資料
（本小節是博主補充的）通過上述步驟，我們就得到了訓練後的模型。基於這個模型，我們就可以用來預測資料，程式碼如下：
# 構建預測集
# 與訓練集相似，一般也是通過 pd.read_csv() 讀入
# 在這邊為方便，我們將訓練集拷貝一份作為預測集（不包括 admin 列）
import copy
combos = copy.deepcopy(data)
# 資料中的列要跟預測時用到的列一致
predict_cols = combos.columns[1:]
# 預測集也要新增intercept變數
combos['intercept'] = 1.0
# 進行預測，並將預測評分存入 predict 列中
combos['predict'] = result.predict(combos[predict_cols])
# 預測完成後，predict 的值是介於 [0, 1] 間的概率值
# 我們可以根據需要，提取預測結果
# 例如，假定 predict > 0.5，則表示會被錄取
# 在這邊我們檢驗一下上述選取結果的精確度
total = 0
hit = 0
for value in combos.values:
# 預測分數 predict, 是資料中的最後一列
predict = value[-1]
# 實際錄取結果
admit = int(value[0])
# 假定預測概率大於0.5則表示預測被錄取
if predict > 0.5:
total += 1
# 表示預測命中
if admit == 1:
hit += 1
# 輸出結果
print 'Total: %d, Hit: %d, Precision: %.2f' % (total, hit, 100.0*hit/total)
# Total: 49, Hit: 30, Precision: 61.22在這裡，我是簡單的將原始資料再作為待預測的資料進行檢驗。通過上述步驟得到的是一個概率值，而不是一個直接的二分類結果（被錄取/不被錄取）。通常，我們可以設定一個閾值，若 predict 大於該閾值，則認為是被錄取了，反之，則表示不被錄取。
在上面的例子中，假定預測概率大於 0.5 則表示預測被錄取，一共預測有 49 個被錄取，其中有 30 個預測命中，精確度為 61.22%。
結果解釋
statesmodels提供了結果的摘要，如果你使用過R語言，你會發現結果的輸出與之相似。
# 檢視資料的要點
print result.summary()Logit Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: admit No. Observations: 400
Model: Logit Df Residuals: 394
Method: MLE Df Model: 5
Date: Sun, 03 Mar 2013 Pseudo R-squ.: 0.08292
Time: 12:34:59 Log-Likelihood: -229.26
converged: True LL-Null: -249.99
LLR p-value: 7.578e-08
==============================================================================
coef std err z P>|z| [95.0% Conf. Int.]
------------------------------------------------------------------------------
gre 0.0023 0.001 2.070 0.038 0.000 0.004
gpa 0.8040 0.332 2.423 0.015 0.154 1.454
prestige_2 -0.6754 0.316 -2.134 0.033 -1.296 -0.055
prestige_3 -1.3402 0.345 -3.881 0.000 -2.017 -0.663
prestige_4 -1.5515 0.418 -3.713 0.000 -2.370 -0.733
intercept -3.9900 1.140 -3.500 0.000 -6.224 -1.756
==============================================================================# 檢視每個係數的置信區間
print result.conf_int()
# 0 1
# gre 0.000120 0.004409
# gpa 0.153684 1.454391
# prestige_2 -1.295751 -0.055135
# prestige_3 -2.016992 -0.663416
# prestige_4 -2.370399 -0.732529
# intercept -6.224242 -1.755716print np.exp(result.params)
# gre 1.002267
# gpa 2.234545
# prestige_2 0.508931
# prestige_3 0.261792
# prestige_4 0.211938
# intercept 0.018500我們也可以使用置信區間來計算係數的影響，來更好地估計一個變數影響錄取率的不確定性。
# odds ratios and 95% CI
params = result.params
conf = result.conf_int()
conf['OR'] = params
conf.columns = ['2.5%', '97.5%', 'OR']
print np.exp(conf)
# 2.5% 97.5% OR
# gre 1.000120 1.004418 1.002267
# gpa 1.166122 4.281877 2.234545
# prestige_2 0.273692 0.946358 0.508931
# prestige_3 0.133055 0.515089 0.261792
# prestige_4 0.093443 0.480692 0.211938
# intercept 0.001981 0.172783 0.018500更深入的挖掘
為了評估我們分類器的效果，我們將使用每個輸入值的邏輯組合（logical combination）來重新建立資料集，如此可以得知在不同的變數下預測錄取可能性的增加、減少。首先我們使用名為 cartesian 的輔助函式來生成組合值（來源於: 如何使用numpy構建兩個陣列的組合）
我們使用 np.linspace 建立 “gre” 和 “gpa” 值的一個範圍，即從指定的最大、最小值來建立一個線性間隔的值的範圍。在本例子中，取已知的最大、最小值。
# 根據最大、最小值生成 GRE、GPA 均勻分佈的10個值，而不是生成所有可能的值
gres = np.linspace(data['gre'].min(), data['gre'].max(), 10)
print gres
# array([ 220. , 284.44444444, 348.88888889, 413.33333333,
# 477.77777778, 542.22222222, 606.66666667, 671.11111111,
# 735.55555556, 800. ])
gpas = np.linspace(data['gpa'].min(), data['gpa'].max(), 10)
print gpas
# array([ 2.26 , 2.45333333, 2.64666667, 2.84 , 3.03333333,
# 3.22666667, 3.42 , 3.61333333, 3.80666667, 4. ])
# 列舉所有的可能性
combos = pd.DataFrame(cartesian([gres, gpas, [1, 2, 3, 4], [1.]]))
# 重新建立啞變數
combos.columns = ['gre', 'gpa', 'prestige', 'intercept']
dummy_ranks = pd.get_dummies(combos['prestige'], prefix='prestige')
dummy_ranks.columns = ['prestige_1', 'prestige_2', 'prestige_3', 'prestige_4']
# 只保留用於預測的列
cols_to_keep = ['gre', 'gpa', 'prestige', 'intercept']
combos = combos[cols_to_keep].join(dummy_ranks.ix[:, 'prestige_2':])
# 使用列舉的資料集來做預測
combos['admit_pred'] = result.predict(combos[train_cols])
print combos.head()
# gre gpa prestige intercept prestige_2 prestige_3 prestige_4 admit_pred
# 0 220 2.260000 1 1 0 0 0 0.157801
# 1 220 2.260000 2 1 1 0 0 0.087056
# 2 220 2.260000 3 1 0 1 0 0.046758
# 3 220 2.260000 4 1 0 0 1 0.038194
# 4 220 2.453333 1 1 0 0 0 0.179574
現在我們已生成了預測結果，接著通過畫圖來呈現結果。我編寫了一個名為 isolate_and_plot 的輔助函式，可以比較給定的變數與不同的聲望等級、組合的平均可能性。為了分離聲望和其他變數，我使用了 pivot_table 來簡單地聚合資料。
def isolate_and_plot(variable):
# isolate gre and class rank
grouped = pd.pivot_table(combos, values=['admit_pred'], index=[variable, 'prestige'],
aggfunc=np.mean)
# in case you're curious as to what this looks like
# print grouped.head()
# admit_pred
# gre prestige
# 220.000000 1 0.282462
# 2 0.169987
# 3 0.096544
# 4 0.079859
# 284.444444 1 0.311718
# make a plot
colors = 'rbgyrbgy'
for col in combos.prestige.unique():
plt_data = grouped.ix[grouped.index.get_level_values(1)==col]
pl.plot(plt_data.index.get_level_values(0), plt_data['admit_pred'],
color=colors[int(col)])
pl.xlabel(variable)
pl.ylabel("P(admit=1)")
pl.legend(['1', '2', '3', '4'], loc='upper left', title='Prestige')
pl.title("Prob(admit=1) isolating " + variable + " and presitge")
pl.show()
isolate_and_plot('gre')
isolate_and_plot('gpa')結果圖顯示了 gre, gpa 和 prestige 如何影響錄取。可以看出，隨著 gre 和 gpa 的增加，錄取可能性如何逐漸增加，並且，不同的學校聲望對錄取可能性的增加程度相差很大。
結束語
邏輯迴歸是用於分類的優秀演算法，儘管有一些更加性感的，或是黑盒分類器演算法，如SVM和隨機森林（RandomForest）在一些情況下效能更好，但深入瞭解你正在使用的模型是很有價值的。很多時候你可以使用隨機森林來篩選模型的特徵，並基於篩選出的最佳的特徵，使用邏輯迴歸來重建模型。