JoyOI火車進出棧問題(水水版+普通版+強化版) 高精度壓位+篩素數+統計約數+快速冪=卡特蘭數
阿新 • • 發佈:2019-01-07
題目
一列火車n節車廂,依次編號為1,2,3,…,n。每節車廂有兩種運動方式,進棧與出棧,問n節車廂出棧的可能排列方式有多少種。
水水版:n<=100
普通版:n<=30000
加強版:n<=50000
題解
數列
給定n個0和n個1,它們按照某種順序排成長度為2n的序列,滿足任意字首中0的個數都不少於1的個數的序列的數量為:
數還與以下問題有關:
1.n個左括號和n個右括號組成的合法括號序列的數量為。
2.1,2,…n經過一個棧,形成的合法出棧序列的數量為
3.n個節點構成的不同二叉樹的數量為。
4.在平面直角座標系上,每一步只能向上或向右走,從(0,0)走到(n,m)並且除兩個端點外不接觸直線y=x的路線數量為。
那麼很顯然這題就是求了
然後發現數據好大。。。QwQ。。。emmmm…
優化+優化+優化+優化+…………!!!!!!!!!!
首先,上一個高精度
然後,壓一下高精度的位(4~8位)
接著,篩一下計算質因數所需的質數
下一步,統計每種質因數出現的數量(除法轉化為質因數數量的加減,而質因數數量的計算又要用奇奇怪怪的方法:1—n中共有n/i個約數i)
緊接著,上一個快速冪(直接把每個約數的次方計算出來)
最後,輸出!!
這個演算法效率還是很高的
程式碼
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int max=5002;
int n,l,ss;
unsigned long long a[max];
int bz[100005],z[100005],b[100005];
unsigned long long ksm(int a,int b){
int g=b;
unsigned long long x=1,c=a;
while (g){
if (g&1) x=x*c;
c*=c;
g>>=1 ;
}
return x;
}
int solve(int v,int l){
int z=0,cc=l;
while (l<=v){
z+=v/l;
l*=cc;
}
return z;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
if (n==1){printf("1");return 0;}
for (int i=2;i<=2*n;i++)
if (!bz[i]){
int k=2;
z[++ss]=i;
while (k*i<=2*n){
bz[k*i]=1;
k++;
}
}
for (int i=1;i<=ss;i++)
b[z[i]]-=solve(n-1,z[i]);
for (int i=1;i<=ss;i++)
b[z[i]]-=solve(n+1,z[i]);
for (int i=1;i<=ss;i++)
b[z[i]]+=solve(2*n-1,z[i]);
b[2]++;
a[max-1]=1;l=max-1;
for (int i=1;i<=ss;i++)
if (b[z[i]]){
unsigned long long k=ksm(z[i],b[z[i]]);
unsigned long long x=0;
for (int j=max-1;j>=l;j--){
a[j]=a[j]*k+x;
x=a[j]/100000000;
a[j]%=100000000;
}
while (x){
l--;
a[l]=x%100000000;
x/=100000000;
}
}
printf("%d",a[l]);
for (int i=l+1;i<=max-1;i++){
if (a[i]<1) {printf("00000000");continue;}
if (a[i]<10) {printf("0000000%d",a[i]);continue;}
if (a[i]<100) {printf("000000%d",a[i]);continue;}
if (a[i]<1000) {printf("00000%d",a[i]);continue;}
if (a[i]<10000) {printf("0000%d",a[i]);continue;}
if (a[i]<100000) {printf("000%d",a[i]);continue;}
if (a[i]<1000000) {printf("00%d",a[i]);continue;}
if (a[i]<10000000) {printf("0%d",a[i]);continue;}
printf("%d",a[i]);
}
}