對奈奎斯特穩定判據的理解

設系統的開環傳遞函式為 $G\left(s\right)H\left(s\right)$

G(s)H(s) ,引入輔助函式

$F\left(s\right)=1+$

G ( s ) H ( s ) = 1 + M ( s ) N ( s ) = N ( s ) + M ( s ) N ( s ) ( 1 ) F(s) = 1 + G(s)H(s) = 1 + \frac{M(s)}{N(s)} = \frac{N(s) + M(s)}{N(s)}\quad\quad\quad\quad\quad (1)
由（1）式可知，輔助函式 $F(s)$的分子與分母多項式的階次是相同的， $F(s)$的零點就是系統閉環傳遞函式的極點， $F(s)$的極點就是開環傳遞函式的極點，我們知道，系統穩定的充分必要條件是系統閉環傳遞函式的極點全部位於S平面的左半平面，因此判定系統穩定性的問題就可以化為尋找 $F(s)$的零點分佈問題。前人提出的方案是尋找 $F(s)$在右半平面的零點數。
為此我們畫出一個半徑無窮大的（如圖1），直徑在虛軸上，圓弧在右半平面的順時針方向的圓，該圓足以包含 $F(s)$的所有在右半平面的零點(如果有的話)，我們稱該順時針圓為奈奎斯特路徑，馬上， $F(s)$中的S將繞該路徑一圈

圖1

設 $F(s)$在右半平面的極點數為 $N_p$，零點數為 $N_z$，

圖2

由圖2，根據對圖2的理解我們看出當S繞奈奎斯特路徑一圈時，如果 $F(s)$在圓內有一個零點，那麼F(s)將會繞著原點逆時針一圈，如果 $F(s)$在圓內有一個極點，那麼 $F(s)$將會繞著原點順時針一圈，所以 $F(s)$繞原點的角度就可以表示為 $-2\pi(N_z - N_p)$，我們知道系統穩定的充要條件在現在是 $N_z = 0$，也就是說 $F(s)$逆時針繞原點的圈數要等於 $N_p$，系統才會穩定，我們知道 $F(s)$逆時針繞原點的圈數也就等價於 $G(s)H(s)$繞 $(-1, j0)$的圈數。
綜上所述，系統穩定的充要條件是：當S繞奈奎斯特路徑一圈後，系統開環傳遞函式繞 $(-1, j0)$的圈數要等於該開環傳遞函式在右半平面的極點數。
感謝閱讀，不對之處請指正，通俗的理解，沒有嚴格的數學證明，望見諒。