關於奈奎斯特穩定判據應用中的理解
根據上一篇文章,我們知道要想判定系統穩定性,只需要找到當 S繞奈奎斯特路徑一圈後, G(s)H(s)所經過的路徑繞 (−1,j0)的次數就可以了,現在我們就來深入探討當 S繞奈奎斯特路徑一圈後, G(s)H(s)的路徑到底是什麼樣,
接下來我們分為兩種情況討論
1. G(s)H(s)在虛軸上無極點
函式在虛軸上時的情況很簡單,我們不予討論,我們主要討論一下,函式在大圓弧上的情況。
設
S=R→∞limRe−jϕ它在GH平面上的對映為
G(s)H(s)∣s=R→∞limRe−jϕ=(R→∞limanbm⋅Rn−m1)ej(n−m)ϕ
(推導過程自己弄)
當n = m 時
G(s)H(s)∣s=R→∞limRe−jϕ=anbm=K
即圓弧對映為常數K
當
n>m時,
G(s)H(s)∣s=R→∞limRe−jϕ=0
即圓弧對映為原點
2. G(s)H(s)在虛軸上有極點
我們現在只關注那個小圓弧即
s=R→0limRejθ(−2π⩽−2π),
設系統開環傳遞函式為
G(s)H(s)=sν(s−p1)(s−p2)…(s−pm)k(s−z1)(s−z2)…(s−zm)
ν稱為系統型別,經過推導可以得到
G(s)H(s)∣s=r→0limrejθ=r→0limrνKe−jνθ
上式表明,當 s在小圓弧上逆時針變化時 G(s)H(s)的變化軌跡是一個順時針的無窮大的圓弧,弧度為 νπ
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