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關於奈奎斯特穩定判據應用中的理解

根據上一篇文章,我們知道要想判定系統穩定性,只需要找到當 S S 繞奈奎斯特路徑一圈後, G ( s ) H
( s ) G(s)H(s)
所經過的路徑繞 ( 1 , j
0 ) (-1, j0)
的次數就可以了,現在我們就來深入探討當 S S 繞奈奎斯特路徑一圈後, G (
s ) H ( s ) G(s)H(s)
的路徑到底是什麼樣,

接下來我們分為兩種情況討論

1. G ( s ) H ( s ) G(s)H(s) 在虛軸上無極點

圖1

函式在虛軸上時的情況很簡單,我們不予討論,我們主要討論一下,函式在大圓弧上的情況。
S = lim R R e j ϕ S = \lim\limits_{R\to\infty}Re^{-j\phi} 它在GH平面上的對映為
G ( s ) H ( s ) s = lim R R e j ϕ = ( lim R b m a n 1 R n m ) e j ( n m ) ϕ G(s)H(s) \mid_{s = \lim\limits_{R\to\infty}Re^{-j\phi}} = \Bigl(\lim\limits_{R\to\infty}\frac{b_m}{a_n}\centerdot\frac{1}{R^{n - m}}\Bigr)e^{j(n - m)\phi}

(推導過程自己弄)
當n = m 時
G ( s ) H ( s ) s = lim R R e j ϕ = b m a n = K G(s)H(s) \mid_{s = \lim\limits_{R\to\infty}Re^{-j\phi}} = \frac{b_m}{a_n} = K
即圓弧對映為常數K
n > m n>m時
G ( s ) H ( s ) s = lim R R e j ϕ = 0 G(s)H(s) \mid_{s = \lim\limits_{R\to\infty}Re^{-j\phi}} = 0
即圓弧對映為原點

2. G ( s ) H ( s ) G(s)H(s) 在虛軸上有極點

圖2

我們現在只關注那個小圓弧即 s = lim R 0 R e j θ ( π 2 π 2 ) s = \lim\limits_{R\to0}Re^{j\theta}(-\frac{\pi}{2}\leqslant-\frac{\pi}{2})
設系統開環傳遞函式為
G ( s ) H ( s ) = k ( s z 1 ) ( s z 2 ) ( s z m ) s ν ( s p 1 ) ( s p 2 ) ( s p m ) G(s)H(s) = \frac{k(s-z_1)(s-z_2)\mathellipsis(s-z_m)}{s^{\nu}(s-p_1)(s-p_2)\mathellipsis(s-p_m)}
ν \nu 稱為系統型別,經過推導可以得到
G ( s ) H ( s ) s = lim r 0 r e j θ = lim r 0 K r ν e j ν θ G(s)H(s)\mid_{s=\lim\limits_{r\to0}re^{j\theta}}=\lim\limits_{r\to0}\frac{K}{r^{\nu}}e^{-j\nu\theta}

上式表明,當 s s 在小圓弧上逆時針變化時 G ( s ) H ( s ) G(s)H(s) 的變化軌跡是一個順時針的無窮大的圓弧,弧度為 ν π \nu\pi