一、定義

只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物， 規定每次至少取一個，最多取m個。最後取光者得勝。

二、分析

我們從最簡單的情景開始分析

當石子有1−m1−m個時，毫無疑問，先手必勝

當石子有m+1m+1個時，先手無論拿幾個，後手都可以拿乾淨，先手必敗

當石子有m+2−2mm+2−2m時，先手可以拿走幾個，剩下m+1m+1個，先手必勝

我們不難發現，面臨m+1m+1個石子的人一定失敗。

這樣的話兩個人的最優策略一定是通過拿走石子，使得對方拿石子時還有m+1m+1個

我們考慮往一般情況推廣

• 設當前的石子數為n=k∗(m+1)+rn=k∗(m+1)+r

先手會首先拿走rr個，接下來假設後手拿走xx個，先手會拿走m+1−xm+1−x個，這樣博弈下去後手最終一定失敗

• 設當前的石子數為n=k∗(m+1)n=k∗(m+1)

假設先手拿xx個，後手一定會拿m+1−xm+1−x個，這樣下去先手一定失敗

三、變形

兩個人輪流報數，每次至少報一個，最多報十個，誰能報到100者勝。

對於巴什博弈，那麼我們規定，如果最後取光者輸，那麼又會如何呢?

(n-1)%(m+1)==0則後手勝利

先手會重新決定策略，所以不是簡單的相反行的

例如n=15，m=3

後手 先手 剩餘

0      2      13

1      3       9

2      2       5

3     1        1

1     0        0

先手勝利 輸的人最後必定只抓走一個，如果>1個，則必定會留一個給對手

四、解決方案

1、結論

#include<cstdio>
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n % (m+1) !=0) printf("first win");
    else printf("second win");
    return  0;
}
 

二、SG定理

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1000 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;

int sg[N], sm[N];
bool vis[N];
void SG(int n, int m)
{
    for(int i = 0; i <= n; i++)
    {
        memset(vis, 0, sizeof vis);
        for(int j = max(i-m, 0); j < i; j++) vis[sg[j]] = true;//i的後繼是[max(i-m,0), i-1]
        for(int j = 0; j <= n; j++)//mex運算
            if(! vis[j])
            {
                sg[i] = j; break;
            }
    }
}
int main()
{
    int t, n, m;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        SG(n, m);
        puts(sg[n] ? "first" : "second");
    }
    return 0;
}

三、DFS

 可以解決，但是TLE!!!

五、例題

http://poj.org/problem?id=2348

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1846

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4764

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848

六、參考文章

https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8460192.html

https://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45479073