Notes on the Ward BRDF

1 介紹

WardBRDF在1992年作為經驗模型被引入用來測量BRDF資料，它有幾個優點超過了以往的模型 並且廣泛應用於計算機圖形學，它只使用了幾個簡單可控的引數，可以模擬各項異性的的表面，表現效果相當好。

本文的目的是澄清和糾正一些WardBRDF的實現細節，第2部分我會討論BRDG的有效性和蒙特卡羅取樣對於渲染演算法的必要性。Ward為BRDF提供了有效的取樣方案，不過它並沒有提供相關的概率密度函式，為了數學的準確性，需要提供正確的加權生成樣本。第3章我們會討論如何匯出這樣的概率密度函式，並在方程中給出具體結果。

BRDF的衣櫃強大的但是應用較少的功能是將其最大值繫結在一系列方向上的能力。第4

章會討論如何高效的定義某方向上的各項同性的WardBrdf空間包圍體。

1.1符號

我們在三維空間討論中，常用粗體表示歸一化的三維向量（比如 V），在實際使用中向量可由三維座標表示，也可以在球形極座標系下用θ and φ兩個角度來表示，我們可以把三維向量表示法和角度表示法用下面的公式相互轉換：

兩個方向的標量的點積等於他們之間角度的餘弦值（例如，v·z =cosθv），使用3D向量時，可以通過對其各項求和來計算點積（例如，u·v = uxvx + uyvy + uzvz）。

圖1：球形極座標示例 方向v可以用兩個角度θv和φv來充分描述。 θv是角度在v和z軸之間。 φv是x軸和v之間的角度投影到x-y

平面上。

BRDF(雙向反射分佈函式)描述光是如何在表面上散射，表面上的一點有入射和出射兩個方向，常用i,o來表示。圖2，在z軸與區域性表面法線相同的表面上構造座標系通常是很方便的，其x和y軸位於曲面的切線平面上。各項異性中，xy方向必須與各項異性方向一致，他們可以任意選擇各項同性。

Ward BRDF使用的是定義在入射和出射方向中間的半方向H。它可以通過增加I和O為三維向量並重整計算：半形是出於microfacet BRDFs和產生更現實的亮點比替代品如Phong。

圖2：BRDF計算中使用的座標系。z軸等於區域性表面法線n，x和y軸位於曲面的切線平面上。雙向反射分佈函式是兩個方向的函式，

入射方向，

i，和向外方向O（例如，眼睛和光的方向）。半形向量H被定義為介於i和o之間，在Ward BRDF中起著重要作用。

2 WardBRDF

原WardBRDF定義為兩個分量之和，第一個是漫反射項ρD /π，漫反射很容易理解，所以我們不作解釋，第二部分是由高斯各項異性光澤葉用三個引數定義，

用ρs, αx, and αy表示：

其中ρs控制葉的大小，αx, and αy控制在各項異性的兩個主方向的波瓣寬度，

如果αx = αy 則改葉是各項同性的、

在定義了雙向反射分佈函式後，Ward給出了一個近似值，這是為了更精簡計算[Ward 1992, Equation5b].沒有理由不使用這個近似值，以下向量方程更精準和高效：

由於公式中h在分子和分母的次方一樣，可以用一種半向量化方程來表示，顯然方程三和四是等價的，通過將三維向量h去表示。h如下：

2.1取樣

在蒙特卡洛繪製演算法中，一個好的雙向反射分佈函式取樣技術是必不可少的。取樣時，我們將入射向量i作為給定或者固定的，並希望在通過BRDF的計算分佈中產生輸出向量o，

Ward為他的BRDF提供了一個抽樣，但無意中在方程中 省略了反正切向量，在0 <u、v＜1的範圍內給出了兩個均勻的隨機變數u和v，正確的取樣方程是:

必須計算保證φH和2πv角在同一象限，這些取樣方程計算u和v的半方向h，然後用H和i產生方向O：

如果新產生的分佈向量o完全匹配BRDF，那麼所有的取樣都可以得到相同的權重，然而對於大部分情況這是很難出現的，為了計算正確的取樣權重，我們需要知道生成的方向o的實際概率密度函式PO，Ward的概率密度函式為：

這個概率，通過設計，相當接近沃德BRDF（見方程3），但不完全匹配它。下一節將介紹如何找到抽樣概率函式以及如何匯出方程。

正確的權重函式w（o）應該應用於蒙特卡洛演算法中的樣本（例如路徑跟蹤）：

圖3：這裡顯示的是一個擴散盒與Ward BRDF球（ρS = 0.75，αx =αy = 0.15）。左半球影象是採用均勻半球取樣的參考解。中間的圖片用的是的均勻取樣（w（O）=ρS），而右影象使用正確的樣本權重（公式10）

以前的經驗通常認為WardBRDF取樣可以同樣使用相同的權重，但是如圖3所示對於寬葉和特殊角度問題容易導致較大誤差，所以我們需要從公式10 中得到正確的取樣權重。

某些同學可能認為在美學上中間的圖會效果更佳，但是對於WardBRDF來說左側和右側的圖在數學上才是正確的。WardBrdf內部定義了漸變放暗的效果，[Duer 2005]已經提出修改它的方程來減少這種效應，然而這超出了本文的範圍。

3 推導抽樣概率

在這一部分內容中，我們將回顧如何給出一個給定抽樣變換的概率密度函式，並展示如何用這個理論來尋找WardBRDF各項同性情況下的概率函式。我們重點關注二維概率密度，其他維度也是類似的原理。

3.1 理論

我們定義一個二維空間的隨機概率密度[s1,s2] ∈ S ，給定一個空間T，從S空間到T空間的轉換後定義為[t1,t2] ∈ T 。我們要計算從S到T的轉換矩陣Pt。

為了方便理解，我們假定該轉換在區域上是可逆的，對隨機變數在區域B的概率Pb，是通過整合其概率密度分佈區域相對其關聯測量給出的dt1 dt2：

概率密度必須有相關的度量方法，儘管關聯通常都是隱式的，給定一個區域B ⊆ T，讓AB⊆ S，B中的點屬於集合S，這兩個式子應該相等 (i.e. P(AB) =P(B)) ，因為他們都是相同事件，因此有：

將變數變換原理應用於第一微積分中，得到：

其中Jacobian行列式的絕對值由偏導數定義：

由於這些方程適用於任何集合B，我們可以用它們來求解概率密度為：

3.2 Ph到Po的應用

我們想專門通過一般理論來處理半形方向h來尋找取樣方法的概率密度函式的具體情況。這種取樣方法採用兩個均勻的隨機數u和v，將他們轉化為半形向量h，然後利用h產生輸出向量o。首先討論h的概率密度Ph，然後將其與輸出向量O的概率密度Po聯絡起來。

我們用公式15把u，v用s1 s2 θh代替，φh代替為t1  t2，但有一個小小的困難。我們正在改變一個非歐裡幾何空間的方向和使用範圍，並使用Ph值作為立體角，我們調整了這個包括立體角測量的1/sinθh額外的因素：我們使用的實際情況是，PUV（U，V）= 1由於u和v是均勻地分佈在單位空間內。

圖4.座標系中向量i在z軸，表面法線N位於x-z平面，從圖1來看我們可以使用兩個立體角方向：θ  and φ 。在h和o的關係可用：表示

我們還需要用Ph來計算Po，H和O之間的關係可以用圖4所示的特殊座標框來表示，該圖中，入射方向i用作z軸，為了清楚的分辨她們，我們將使用這些特殊的座標和一個星標標出所有的球面角，h和o在這些座標系中的關係是：，我們可以使用公式15，作簡單的修改來得到立體角：

對h向量的變換可在[Torrance and Sparrow 1967] and [Ashikhmin and Shirley 2000].中檢視

3.3各項同性的例子

現在為了演示如何將這些方程應用於一個特定的情形，我們將得到更簡單的各項同性情況下的取樣概率密度，當ax=ay時 WardBRDF是各項同性的，我們可以簡單的寫成a，在這種情況下BRDF可以簡化為：

各項同性取樣方程簡化為：

我們可以倒推各項同性方程：

圖5 BRDF的包圍盒最大值，入射和法線方向固定，反射點被假定為原點，然後我們計算反射方程的上限，在一組方向上定義包圍盒B允許。

然後我們可以用公式16，就θH和φH來計算u和v的偏導數：

上面的公式沒有絕對值操作是因為 它總是為正數，角度在0-90範圍內。最後利用公式17我們可以得到各項同性情況中取樣輸出方向O的概率密度：

對於各項異性，方程9的推導類似。大家可以試試看。

4. BRDF的包圍盒

一個有效的BRDF操作是把它的最大值包圍在一組方向上。雖然對於取樣這是一個不太常見的操作。但他說一個操作所需要的強大的渲染演算法，在本節中，我們將介紹如何計算各項同性WardBRDF的一個合理的方法。擴充套件內容留到以後講。

當包圍BRDF時，入射方向的i和表面的點是固定的，但是方向是可以改變的，如圖5所示，我們可以使向量B在指定方向輸出向量集合。為了簡單起見，讓我們假設表面反射點在原點，讓v是一個三維向量，箭頭表示它可以具有任意長度，而不是標準化向量，我們可以計算o的上限函式。

一個標準化的解決方案是使用區間運算。通過使用區間等價替換每個運算子 並將其包圍空間表示為區間，計算會變簡單。但不幸的是，這些區間界限往往相當分散，尤其是當初間隔較大的。所以我們將繼續尋找一個方向或者一組引數，使包圍圈附件的點這是一個嚴格的上限區間。

圖6，使用公式27計算包圍盒上限值cosθ的例子

4.1餘弦包圍盒

現在我們開始計算餘弦包圍盒的上限值，如果我們用一個座標系 表面發現N為z軸 我們可以：

Cosθ的導數vz總是為正數，因此我們可以取代vz用包圍盒的最大值：

現在分子是固定的，我們可以選擇vx和vu最小化或者適當最大化分母。、

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