給定一個整數陣列 nums ，找到一個具有最大和的連續子陣列（子陣列最少包含一個元素），返回其最大和。

示例:

輸入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
輸出: 6
解釋: 連續子陣列 [4,-1,2,1] 的和最大，為 6。

分治法【時間複雜度O(NlogN)】

概括來說，就是把陣列分成兩個序列，最大和子序列要麼在左半部分，要麼在右半部分，要麼是橫跨左右部分，也就是說包含左半部分的最後一個元素和右半部分的第一個元素。在求左半部分或者右半部分時又再次將序列拆分，如此迴圈。

 * 拆分序列（直到只剩下一個數的序列） ---->   左序列|右序列
 *
 
 求左序列最大值
 * 求右序列最大值
 * 求跨邊界的最大值
 * 求以上三個最大值的最大值
 * 不斷重複

舉個栗子：

 * 假定存在以下序列
 * {4 -3 5 -2}
 * 
 * 做拆分
 * {4 -3}{5 -2}
 * 做拆分
 * {4}{-3}
 * 做拆分
 * {4}  求得當前序列最大和為【4】
 * 處理右邊的{-3}
 * {-3}小於0，所以返回0，則最大和為【0】
 * 還有一種就是橫跨左右序列的-3+4=【1】
 * 它們被拆分之前是{4 -3}，所以{4 -3}的最大和是max{4,0,1}=【4】
 * 處理右邊的
 * {5 -2}
 * 做拆分
 * {5}
 
{-2}
 * 做拆分
 * {5}  求得序列最大和為【5】
 * 處理右邊的{-2}
 * {-2}小於0，所以返回0，最大和為【0】
 * 還有一種就是橫跨左右序列的-2+5=【3】
 * 它們被拆分前是{5 -2}，所以{5 -2}最大和是max{5,0,3}=【5】
 * {4 -3}{5 -2}處理完畢，最大和分別是【4】【5】
 * ------------------------------------------------------------
 * 它們被拆分之前是{4 -3 | 5 -2}
 * 先說結果：
 *      左邊的最大和（4 + （-3）） = 1
 *      右邊的最大和5
 

 *      左右相加得【6】
 *
 * 為什麼是左邊4+(-3)呢？
 * 首先以|為邊界向左掃描求最大和
 * 因為是從【中間向左】掃，第一個掃到的數是-3
 * 再向左掃，是4，4比-3絕對值大吧！
 * 要包含4，就必須把-3加上
 * 因為要跨越邊界，-3肯定要經過的，才能形成連續的序列。
 * 左邊掃描完了，就從【中間向右】掃
 * 第一個發現5，掃向下一個，發現是-2，相加起來還不如一個5呢
 * 於是就不要-2了。為什麼可以不要？因為這是一個從左往右的序列~
 * 而-2在最右邊，當然是可以拋棄的了。
 *
 * 如果-2 後面還有一個數，比如3的話，是{5 -2 3}，這時把三個數加起來是6，比5大，就需要把三個數都包含起來。
 * 因為三個數加起來比5大恩。就是這個理。
 *
 * 此時可以知道{4 -3 | 5 -2}，最大和是左邊的1加上右邊的5得到max{4,6,5}=【6】。

採用c++程式碼實現

//求三個數中的最大值
int max3(int a,int b,int c)
{
    return a>b?(a>c?a:c):(b>c?b:c);
}

int maxsubarr(vector<int> &nums,int left,int right){
    //定義 左右端最大值
    int maxleft=0,maxright=0;
    //定義左右端邊界值
    int leftborder=0,rightborder=0;
    //定義左右端邊界最大值
    int maxleftborder=0,maxrightborder=0;
    //遞迴出口，只剩一個數時
    if(left==right)
        return nums[left]>0?nums[left]:0;

    int mid=(left+right)/2;
    //左邊遞迴
    maxleft = maxsubarr(nums,left,mid);
    //右邊遞迴
    maxright = maxsubarr(nums, mid+1, right);
    //求左邊屆最大值
    for(int i=mid;i>=left;i--){
        leftborder+=nums[i];
        if(leftborder>maxleftborder)
            maxleftborder=leftborder;
    }
    //求右邊屆最大值
    for(int i=mid+1;i<=right;i++){
        rightborder+=nums[i];
        if(rightborder>maxrightborder)
            maxrightborder=rightborder;
    }
    return max3(maxleft,maxright,maxleftborder+maxrightborder);
}

int maxSubArr(vector<int>nums){
    return maxsubarr(nums, 0, (int)nums.size()-1);
}

動態規劃【時間複雜度O(N)】

步驟 1：令狀態 dp[i] 表示以 A[i] 作為末尾的連續序列的最大和（這裡是說 A[i] 必須作為連續序列的末尾）。

步驟 2：做如下考慮：因為 dp[i] 要求是必須以 A[i] 結尾的連續序列，那麼只有兩種情況：

• 這個最大和的連續序列只有一個元素，即以 A[i] 開始，以 A[i] 結尾。
• 這個最大和的連續序列有多個元素，即從前面某處 A[p] 開始 ，一直到 A[i] 結尾
• 對第一種情況，最大和就是 A[i] 本身，對第二種情況，最大和是 dp[i-1]+A[i]。

於是得到狀態轉移方程：

採用c++程式碼實現

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    int maxsum=0;
    int *dp =new int[nums.size()];
    dp[0]=nums[0];
    maxsum=dp[0];
    for(int i=1;i<nums.size();i++){
        dp[i]=nums[i]+(dp[i-1]>0?dp[i-1]:0);
        maxsum=maxsum>dp[i]?maxsum:dp[i];
    }
    return maxsum;
}