積性函式的性質及證明 + 線性篩
引言
在數論問題中，積性函式有著廣泛的應用。
如在莫比烏斯反演問題中，函式變換之後如何快速維護字首和往往是最重要也是最難的一步。如果維護的函式具有積性，那就可以嘗試利用線性篩在
本文的大部分相關性質及公式來自：
博主將試著證明其中的性質公式，嚴謹性可能欠缺，其目的主要是幫助記憶和理解。
因水平有限 若有錯誤之處還望指出qwq~
積性函式的定義和性質
定義： 對於一個定義域為
若對於任意整數
性質：
(1)對於任意積性函式
證明：因
因
證畢。
(2)對於一個大於
若
證明：由積性和完全積性的定義易得。
尤拉函式φ
定義：對於正整數
定義式：若
性質：
(1)尤拉函式為積性函式，而不是完全積性函式。
證明：設兩個互質的正整數
則：
因
故推出：
積性函式性質得證。
而完全積性由上證明可見，
(2)假設存在一個素數
引言
在數論問題中，積性函式有著廣泛的應用。
如在莫比烏斯反演問題中，函式變換之後如何快速維護字首和往往是最重要也是最難的一步。如果維護的函式具有積性，那就可以嘗試利用線性篩在O(n)的時限內完成預處理，從而達到優化複雜度的神奇作用。
本文的大部分相關性質
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define debug puts("YES");
#define rep(x,y,z) for(int (x)=(y);(x)<(z);(x)++)
#def
描述
Xiaoming has just come up with a new way for encryption, by calculating the key from a publicly viewable number in the following way:
Let t 前置知識
線性篩
線性篩可以在嚴格$O(n)$的時間內篩出積性函式的值，
它有常見的套路
假設$n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$
如果我們能快速得出$f(p_i)$和$f(p_i^{k+1})$的取值，那麼直接套板子就行了
在下文中如無特殊說 一些性質
積性函式：對於函式\(f(n)\)，若滿足對任意互質的數字\(a,b，a*b=n\)且\(f(n)=f(a)f(b)\)，那麼稱函式f為積性函式。
狄利克雷卷積：對於函式f,g,定義它們的卷積為
\((f∗g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\)。
狄利克雷卷積滿足
尤拉函式：
定義：φ(n)表示1~n中和n互素的數目
性質：
首先可以根據概念得知，當n為素數時，顯然ϕ(n)=n−1
尤拉函式是個不完全積性函式，證明過程較複雜，貼個連結趕緊跑
根據它積性函式的性質和唯一分解定理，我們就可以把任意一個φ(n)
參考資料
整除分塊：
當我們求∑ni=1f([ni])∑i=1nf([ni])的時候，如果1到n求一遍感覺太傻了，因為會有很多重複的計算，例如：n=10000時，i在[101,111]時，都有[ni]=9[ni]=9，所以我們只需要對所有數分成如上的一個 題目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4407
推導如這裡：https://www.cnblogs.com/clrs97/p/5191506.html
然後發現 \( F(D) \) 是一個積性函式，可以篩質數的同時篩出來；
首先，單個質
前言：
據CCH和LJH說，杜教篩似乎是一個非常套路的東西，幾乎所有的杜教篩的題目推理方式都是一模一樣的（但實測有些推理還是很噁心的）。所以複習杜教篩不需要太多時間，粗略看一遍，留下印象即可。
杜教篩其實是一種簡化運算的推理方式，它的使用條件並不僅限於積
在非數論的領域，積性函式指所有對於任何a,b都有性質f(ab)=f(a)f(b)的函式。
在數論中的積性函式：對於正整數n的一個算術函式 f(n)，若f(1)=1，且當a,b互質時f(ab)=f
題意：設（題目已把f(6)的表給出），，給定n(n<=1e9)，求g(n)
最主要的是求f(m)，考慮到模數大於0的情況比較多，所以考慮考慮求ij mod n==0的情況。。
然後其實從題目給的表中看出對一個a來說，他0的個數和gcd(a,n)有關，其實也很容易證明，對一個數a來說
【連結】
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5728
【題意】
n是無平方因子的數
定義k=∑mi=1φ(i∗n) mod 1000000007，求K^k^k^k......%p
【思路】
先尤拉性質求出k
1. 求前n個正整數的約數之和
即 .
解：
或
需要說明的是 是一種常見的表示形式。
當 時， 顯然只有個取值，當 時， ，顯然也只有個取值。當 = k (常數) 時，i的取值區間是 ，因此可以用 複雜度求解。
code：
#inclu 題意：設f(i)為0<=x,y<=i-1且xy%i=0的(x,y)對數，g(i)為sigma f(j) [i%j==0]
給定n，求g(n)，答案對2^64取模
T<=2e4，n<=1e9
思路：這題堅定了我要找一個專業數學手的決心……
x,y從[0,i-1]等價於從[1,i]
傳送門
可以很容易推到
f_r(n) = sigema (d|n) f_r-1(d)
f_0(n) = 2^(n的質因子個數)
然後就不知道怎麼辦了
這是一個積性函式的應用小技巧
看出來f_0是一個積性函式，那麼f_r也是積性函式
證明積性函式可以把表示式拆成
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define debug puts("YES");
#define rep(x,y,z) for(int (x)=(y);(x)<(z);(x)++)
#def
今天做的一道題就是有關積性函式與狄利克雷卷積的，很懵逼。覺得有必要學一手了
一. 積性函式是什麼呢？
對於函式f，對於任意的a,b互質，都有:
f(a * b) = f(a) * f(b)
這樣的函式f就稱為積性函式，若a,b不互質也滿足上述條
J. Sum
A square-free integer is an integer which is indivisible by any square number except 11. For example, 6 = 2 \cdot 36=2⋅3 is squa
【連結】
【題意】
n是無平方因子的數
定義k=∑mi=1φ(i∗n) mod 1000000007，求K^k^k^k......%p
【思路】
先尤拉性質求出k,再用尤拉降冪，A^B=A^B%phi(C)+phi(C) (mod C)求出答案
∑(i=1~
GCD?LCM!
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 131072/131072 K (Java/Others)Total Submission(s): 316 Accepted Submission(s): 200
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