遞推是利用問題本身所具有的遞推關係求解問題的方法。所謂遞推，是在命題歸納時，可以由數量分別為n-k,…,n-1的情形推得數量為n的情形，或者反過來由數量分別為i+k,…,i+1的情形推出數量為i的情形。
我們大家比較熟悉的應該就是斐波那契數列了；這裡給大家講一下稍微複雜一點的遞推——猴子爬山問題。

一個猴子在一座有30級臺階的小山坡上跳躍，猴子一步可以跳躍1級或者3級，試求上山一共有多少種不同的走法？

設爬k級臺階的不同爬法有f(k)種，
(1)尋找f(k)的遞推關係。上山最後一步到達第30級臺階完成上山，共有f(30)種不同的走法；到第30級臺階之前呢？無非是在第29級（上跳1級就行了），有f(29)種；或者位於第27級（上跳3級就行了），有f(27)種；於是f(30)=f(29)+f(27);
以此類推，有以下遞推關係：
f(k)=f(k-1)+f(k-3) (k>3);

(2)確定初始條件
f(1)=1;
f(2)=2;
f(3)=2;

(3)code如下：

int main()
{
int k,n;
long f[1000];
printf("請輸入臺階總數n:");
scanf("%d",&n);
f[1]=1;
f[2]=2;
f[3]=3;
for(int k=4;k<=n;k++)
  f[k]=f[k-1]+f[k-3];
printf("s=%1d",f[n]);
}

問題引申：設爬n級臺階，一步有m種跨法，一步跨多少級均從鍵盤輸入，求共有多少種不同的爬法。

這是一個分級遞推問題，設爬山t級臺階的不同爬法為f(t)，從鍵盤輸入的m個整數分別為x(1
 
),x(2),x(3),.........,x(m)    (約定x(1)<x(2)<...x(m)<n)

首先探討f(t)的遞推關係：
   當t<x(1)時，f(t)=0，f(x(1))=1  (初始條件）
   當x(1)<t<=x(2)時，第1級遞推，f(t)=f(t-x(1))
   當x(2)<t<=x(3)時，第2級遞推，f(t)=f(t-x(1))+f(t-x(2))
   .......
   一般地，當x(k)<t<=x(k+1)，k=1,2,,...,m-1, 有第k級遞推：
     f(t)=f(t-x(1))+f(t-x(2
 
))+....+f(t-x(k))
  當x(m)<t時，有第m級遞推：
     f(t)=f(t-x(1))+f(t-x(2))+...+f(t-x(m))
  當t=x(2)或x(3)...x(m)時，還要加1，因為t本身就是一個一步到位的爬法，則 f(t)=f(t)+1;
  我們所求的目標就是
     f(n)=f(n-x(1))+f(n-x(2))+...+f(n-x(m))
再設計遞推的過程中可以把臺階數記為陣列x(m+1)


main()
{
int i,j,k,m,n,t,x[10];
long f[200];
printf("請輸入總檯階數n:");
scamf("%d",&n);
printf("一次有幾種跳法:");
scanf("%d",&m);
printf("請從小到大輸入一步跳幾級.\n");
for(i=1;i<=m;i++)
{
printf("第%d個一步可以跳級數:",i);
scanf("%d",&x[i]);
}
for(i=1;i<=x[1]-1;i++) 
f[i]=0;  //確定初始條件
x[m+1]=n;
f[x[1]]=1; //初始條件
for(k=1;k<=m;k++)  //一共m種爬法，實現對每一種爬法的累加
for(t=x[k]+1;t<=x[m+1];t++)
{
f[t]=0;
for(j=1;j<=k;j++)
f[t]=f[t]+f[t-x[j]];//按公式實現累加
if(t==x[m+1])
f[t]=f[t]+1;
}
printf("共有不同的爬法種數為:%d",f[n]-1);  //因為用到了x[m+1],將他也看成了一步走法，所以減1