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如何推導尤拉公式e^iθ=cosθ+i*sinθ

阿新 • • 發佈：2019-02-10

相信大多數人都知道大名鼎鼎的數學最美的公式：{\color{Red} e^{i\pi }+1=0}

為什麼說它是最美的呢？因為它包含了指數裡最基本的e，複數裡最基本的 i ，圓頻率最基本的 π，以及自然數裡最基本的0和1。

本質上這個公式是由 {\color{Red} e^{i\theta }=\cos\theta + i\sin \theta } 這個公式推導過來的，把θ換成π即可。

那麼這個公式是如何得到的呢？可以使用高等數學裡的冪級數展開，進而可以推導得出。

把e^{ix}裡的ix看成一個整體，根據麥克勞林展開式e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{5}}{5!}+...，把x換成ix代進去可以得到：

e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+\frac{(ix)^{4}}{4!}+\frac{(ix)^{5}}{5!}+\frac{(ix)^{6}}{6!}+...

=1+ix-\frac{x^{2}}{2!}-\frac{ix^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{ix^{5}}{5!}-\frac{x^{6}}{6!}+...

我們把不含 i 的放一邊，含 i 的放在另一邊，則可以得到：

e^{ix}=(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+...)+ i (x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-...)

=\cos x+i\sin x

所以得證。

（補充，為什麼e^{ix}可以泰勒展開，這個需要證明，但此處忽略）

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