傳送門
思路：
快把我做哭了TAT
從昨天上午開始想，搞了一下午有一個點沒有想明白
TA爺看過題後想了5min貌似就爆正解了TAT
下面我就來講一講~
一開始先想沒有置換情況下的方案數
手玩無果後打了表……
然後就是
F(1)=1,F(2)=5,F(n)=3×F(n−1)−F(n−2)+2(n≥3)
mrazer：這不就是“輪狀病毒”嗎
咦好像真的是啊……
當時那道題我好像也是打表搞得啊……
說說比較好理解的一種證明
設F(n)是帶環的方案數，即n號點可以連到1號點
f(n)是不帶環的方案數，即n號點不能連到1號點
f(n)={12×f(n−1)+∑ni=2f(

n−i)(n=0,1)(n≥2)
F(n)=∑ni=1i2×f(n−i)
先來解釋一下F(n)
考慮把圖形外面的n條邊想象成分開的一段段
列舉第一個點的段的大小i(1~n)，因為這個段是獨立的，想在整體中就必須向中心點連邊，所以再列舉這個段向中心點連邊的點，數量也是i
剩下的話就是遞迴問題了，不過要求剩下的段不能成環，就是f(n−i)了
f(n)的話，考慮前n-1個點已經排好了，加入第n個點使其仍然是樹，有三種選擇，把n直接連在n-1所在的段上，把n直接與中心點相連，把n連在n-1所在的段上並與中心點相連（也就意味著n-1所在的段形態確定，除n以外不與中心點相連），三種選擇的方案分別是f

(n−1),f(n−1),∑ni=2f(n−i)，最後一種相當於列舉n-1所在段的大小i(1-n)，方案數就取決於剩下的n-1-i個點了
但我們發現上面的式子求解在n≤109下不適用，所以要化簡
把f(n)(n≥3)化簡一下就成了這個樣子

f(n)=f(n−1)+∑i=2n−1f(i)①
f(n−1)=f(n−2)+∑i=2n−2f(i)②
①-②,移項得
f(n)=3f(n−1)−f(n−2)(n≥3)
（以下過程我寫的有些鬼畜，推薦由結論推出條件）
∵∑i=n−2ni2×f(n−i)−3(n−1)2−2(n−2)2−2=0
∴F(n)=∑i=1ni2×f(n−i)−∑i=n−

2ni2×f(n−i)+3(n−1)2+2(n−2)2+2
=∑i=1n−3i2×f(n−i)+3(n−1)2+2(n−2)2+2
∵n−i≥3∴f(n−i)=3(n−i−1)−f(n−i−2)
=∑i=1n−3i2×[3f

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