測試地址：Magic Bracelet
題目大意：要用N(≤109)顆珠子連成環形的手鐲，共有M(≤10)種不同的珠子，規定K個條件，每個條件規定某兩種珠子不能相鄰，旋轉後相同的方案視作相同，問有多少種本質不同的方案，對9973取模（gcd(N,9973)=1）。
做法：這題非常經典，思路很有代表性，是進階Burnside引理和Polya定理題的一塊敲門磚，需要用到：Burnside引理，尤拉函式，DP+矩陣快速冪，乘法逆元。
首先一看題目是計數，就自然而然地聯想到Burnside引理和Polya定理，然而這題有不能相鄰的條件，所以不能直接用Polya定理，那麼我們考慮使用Burnside引理來解決。
我們知道環形的旋轉置換有N

種，第i種置換（這裡定義為旋轉i顆珠子的置換）的迴圈數為gcd(N,i)，觀察這樣的置換，我們發現它很有規律：第1個元素屬於第1個迴圈，第2個元素屬於第2個迴圈，…，第gcd(N,i)個元素屬於第gcd(N,i)個迴圈，第gcd(N,i)+1個元素屬於第1個迴圈，以此類推。由於我們計算|C(f)|時每個迴圈內元素著色應該相同，那麼我們實際上只需確定前gcd(N,i)個元素的填色方案數即可。設對前i個元素進行著色，且最後一個元素顏色為j的方案數為f(i,j)，並設二元函式m(i,j)，表示如果i,j兩種顏色的珠子可以相鄰，那麼m(i,j)=1，否則m(i,j)=0，那麼我們可以得到狀態轉移方程：
f

(i,j)=∑Mk=1m(j,k)×f(i−1,k)
但是最後一個元素的填色除了和它前一個元素有關，還和第一個元素有關，那麼這個狀態轉移方程是不是錯的呢？實際上，我們只需一開始列舉第一個元素的顏色k，然後這一種情況的答案就是第gcd(N,i)+1個元素與第一個元素同色的方案數，即：f(gcd(N,i)+1,k)，累加每種情況即可得出|C(f)|。帶進Burnside公式計算之後，最外面還要乘一個1/N，由於gcd(N,9973)=1，所以我們直接求N關於模9973的乘法逆元，然後再乘即可。
上面的方法的時間複雜度是O(N2M)，顯然不能通過此題，需要考慮優化。此題需要從兩個方面入手，一是計算Burnside公式的複雜度，而是動態規劃的複雜度。
首先優化計算Burnside公式的時間複雜度。我們知道gcd

(N,i)|N，而且當gcd(N,i)相同時，|C(f)|相同，那麼我們完全可以列舉N的因子d，計算gcd(N,i)=d時的|C(f)|，再乘上使得gcd(N,i)=d的i的個數，累加起來得到答案。後面那個個數顯然就是φ(N/d)了（不懂的可以去看看我寫的POJ2154的題解），那麼列舉的時間複雜度就大大降低了。
接下來優化DP的時間複雜度，注意到M很小，那麼二元函式m顯然可以構造成一個矩陣M′，如果我們把f(i,1),f(i,2),...,f(i,M)從上到下排成一個列向量Fi，那麼可以看出：Fi=M′Fi−1，所以Fi=M′i−1F1，於是我們可以先用矩陣快速冪算出M′d，然後就可以算Fd+1了，但其實我們沒有必要算出全部的Fd+1，因為我們只要求f(d+1,k)，這是第k行第1列的元素，那麼就用

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