琴絃的振動頻率如何調節？太陽壽命是多少？形成過程需多久？4 月 10 日 12 時，《張朝陽的物理課》第四十四期開播，搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間，帶網友們複習並拓展了上一次線下直播課的內容，求解琴絃波動方程，並根據所求結果介紹如何調節琴絃的頻率。此外還從引力結合能的計算出發，估算得到太陽形成所需的時間。

分離變數“大顯神通” 簡化琴絃波動方程

直播伊始，張朝陽帶網友們複習了琴絃的波動方程。設琴絃的質量線密度為 μ，長度為 a，琴絃的張力為 T。琴絃的兩端固定。用 u (x,t) 表示琴絃上處於 x 位置的質點在 t 時刻的偏移，那麼琴絃的波動方程為：

在這裡，張朝陽藉助分離變數法給大家介紹瞭如何得到琴絃波動方程的一些特解。設 u=f (x) g (t)，代入波動方程，求導展開之後再除以 f (x) g (t) 可得：

等式左邊是關於 t 的函式，等式右邊是關於 x 的函式，因此要想兩邊相等，則它們必須是同一個常數，設此常數為-α^2，其中 α 為非負的實數。（注：為什麼假設是-α^2 而不是 α^2 呢？原因是多方面的。一方面，如果假設兩邊常數是正的，那麼將會求解得到指數形式的解，這種形式的滿足兩端為 0 的解只能是常數 0；另一方面，這裡的求解過程是先求出一部分特解，然後再檢驗這部分特解能否組合成滿足要求的所有解。）基於這個常數-α^2，可以得到：

張朝陽闡述了一遍他的求解目的：將弦拉離平衡位置後鬆手，求這根弦的振動形式。整個問題嚴格表述起來就是，求解波動方程滿足邊值 u (0,t)=u (a,t)=0、且初速度為 0 的解。上述兩個方程的通解都可以寫成餘弦和正弦的線性組合，不過考慮到邊值條件和初速度為 0 的要求，只選擇正弦部分作為 f (x) 的解、餘弦部分作為 g (t) 的解。於是，可以得到這麼一組特解：

注意，上式暫時忽略了餘弦和正弦前面的係數。因為餘弦函式的導數是正弦函式，而正弦函式在原點的值為 0，所以這樣的 u (x,t)= f (x) g (t) 是滿足初始速度為 0 的條件的。另一方面，f (x) 裡的正弦函式已經滿足在琴絃 x=0 處為 0，還需要滿足 x=a 處為 0，於是：

其中 n 是正整數。這樣就有：

這裡已經給 u_n (x,t) 補上了係數。

由於波動方程是齊次線性的，特解的線性組合依然是方程的解。那麼，是否所有滿足邊值條件和初速度為 0 的解都可以由這一組特解線性組合出來呢？張朝陽提示說，這就需要用到傅立葉級數了。對於滿足條件的任何解 u (x,t)，在 t=0 時 u (x,0) 是一個滿足 u (0,0)=u (a,0)=0 的連續函式，因此可以展開成 sin (nπx / a) 的傅立葉級數，係數是 α_n：

根據牛頓力學，力學運動的解由初始條件決定了，因此初始時刻等於 u (x,0) 並且初速度為 0 (當然，還需要邊值等於 0) 的解是唯一的，所以必然有：

如果上式兩端不相等，那就存在兩個滿足要求的解了，這是違反牛頓力學的。於是，所有滿足邊值條件和初速度為 0 的解都可以由這一組特解線性組合出來。

接著，張朝陽介紹特解 u_n 的頻率。對於每一個固定的 x 值，對應的質點做簡諧振動，圓頻率為：

對於頻率 ν，由於 ω=2πν，故：

根據這個公式，當需要將樂器裡琴絃的頻率調高時，就要拉緊琴絃，增大它的張力 T。而若琴絃比較重，質量線密度比較大，根據牛頓第二定律，這樣的弦很難振動得快，所以頻率會比較低，這樣的直觀理解也與剛剛推匯出來的結果相符。

(張朝陽討論琴絃波動方程的解及其頻率)

空氣中的聲速: 絕熱近似與準靜態條件

隨後，張朝陽帶網友們複習聲音在空氣中的波動方程：

其中下標 s 表示絕熱過程。他強調，這個方程的推導過程中，除了假設振幅很小以及 u 對 x 的偏導數遠小於 1 之外，還考慮了另外兩個近似條件：絕熱條件和準靜態條件。

絕熱近似強調的是聲音振動對空氣壓縮和拉伸的週期要遠小於熱傳導的時間尺度，從而可以把聲音在空氣中造成的壓縮和膨脹看成是絕熱過程。根據這個條件計算得到的聲速是：

其中 m_m 表示以 g / mol 為單位的摩爾質量，γ 在空氣中約等於 1.4。牛頓曾經對這個過程認識不足，以為聲音壓縮空氣的過程是等溫過程。按等溫過程算出來的聲速公式會缺少這個 γ 因子，從而導致其值大約比真實值低 15%。

準靜態條件，指的是空氣足夠密集，使得振動時每個質量微元能夠維持在平衡態，從而可以對氣體的每一個質量微元使用平衡態時的狀態方程。當氣體很稀薄時，這個近似是不成立的。

太陽形成需多久？ 估算引力結合能 除以功率得時間

在 4 月 8 日的線下課程中，張朝陽曾介紹了太陽壽命的估算。這次課程也帶網友們複習了一遍。估算太陽壽命的主要依據是能量守恆定律。首先要知道太陽的能量來源主要是由氫聚變成氦的過程，假設大約有 10% 的氫最終變成了氦，則可估算得到太陽總共具有的聚變能約為 0.1×0.12×10^46 焦耳。太陽的能量主要以光的形式輻射出去，輻射譜是太陽表面溫度的黑體輻射譜，因此可以根據：

估算出太陽壽命約為 100 億年。

張朝陽介紹說，除了太陽的壽命，還有一個時間尺度很重要，那就是太陽形成所用的時間。“這可以用太陽的引力結合能除以太陽在單位時間內的輻射量來估算。”他進一步解釋說，太陽一開始是一團氣體，這團氣體相互之間的引力結合能可以忽略不記。當這團氣體塌縮成太陽後，引力勢能會釋放出來並轉化成熱量，然後熱量會以輻射的形式散發出去。

當然，太陽形成的那一刻，引力勢能產生的所有的熱量並非全部輻射出去了，但是輻射出去的那部分佔比不小。在直播當中進行的是一個估算，因此假設這部分熱量全都輻射了出去，並且輻射的溫度就是目前太陽的溫度。

有了這些假設，接下來就需要計算太陽的結合能了。可以把太陽形成的過程看成是一層層的球殼狀的氣體不斷從無窮遠處移到太陽的位置的過程，然後將每個球殼微元的引力勢能改變加起來就可以得到引力結合能了。因為均勻球殼不會對內部的物質有引力作用，而均勻球殼對球殼外的物質引力等效於球殼質量集中於球心時的引力，因此引力結合能為：

其中 M_r 表示半徑 r 內的物質質量，dm_r 表示半徑為 r 處的球殼微元的質量。在這裡，張朝陽又作了一步假設，使得計算可以大大簡化：假設太陽形成之初的密度為常數 ρ，於是：

因為氣體還在無窮遠處時的引力能量取為 0，因此太陽形成後釋放出來的引力勢能為 3GM^2/(5R)。得到了這個能量公式，就可以估算太陽的形成時間了。這裡所用的公式與估算太陽壽命時所用的公式類似，只不過式子分母保持不變，而分子換成釋放出來的引力勢能。

張朝陽在直播中估算釋放出來的引力勢能約為 4×10^41 焦耳，大約是前面估算的太陽可以釋放的聚變能的 1/250。因此，太陽形成所花費的時間約為其壽命的 1/250，大約是 4000 萬年。得到了這個估算結果之後，張朝陽展示了天文學研究中已知的一些恆星形成時間，其中太陽的形成時間約為 5000 萬年，我們的估算結果與此資料很接近。

(張朝陽在估算太陽形成所花的時間)

本次直播課程的結尾，張朝陽和網友們進行了互動，並回答了網友們提出的一些問題。有網友提問到，聲音傳播過程中，是什麼引起了氣體壓強的變化？張朝陽解釋說，空氣是一種縱波，振動方向和傳播方向平行，因此聲音在傳播的過程中，有些位置的空氣被壓縮了，有些位置的空氣膨脹了，從而空氣在不同位置處的密度會有差異，同時也使得各處的壓強改變了。

因為本次直播課程複習了波動方程，其中用到了偏導數，因此有網友疑問為什麼物理中經常出現偏導數。對此，張朝陽解答說，因為物理中經常需要處理多個變數的函式。比如依賴時空位置的函式，時空是四維的，因此這些函式都是四元函式。考慮這些函式隨時間或者隨位置的變化關係，就不可避免地遇到偏導數了。