12屆藍橋杯省賽-砝碼稱重

阿新 • • 發佈：2022-03-29

前言：

　　在這一篇文章中，我們主要介紹“砝碼稱重”這道題的解法

正文：

一、題幹：

【問題描述】

　　你有一架天平和 N 個砝碼，這 N 個砝碼重量依次是 W1,W2,...,WN。

　　請你計算一共可以稱出多少種不同的正整數重量？

　　注意砝碼可以放在天平兩邊。

【輸入格式】

　　輸入的第一行包含一個整數 N。

　　第二行包含 N 個整數：W1,W2,W3,...,WN。

【輸出格式】

　　輸出一個整數代表答案。

【樣例輸入】

　　1 4 6

【輸出樣例】

【樣例說明】

　　能稱出的 10 種重量是：1、2、3、4、5、6、7、9、10、11。

　　1 = 1；

　　2 = 6 − 4 (天平一邊放 6，另一邊放 4)；

　　3 = 4 − 1；

　　4 = 4；

　　5 = 6 − 1；

　　6 = 6；

　　7 = 1 + 6；

　　9 = 4 + 6 − 1；

　　10 = 4 + 6；

　　11 = 1 + 4 + 6。

【評測用例規模與約定】

　　對於 50% 的評測用例，1≤N≤15。

　　對於所有評測用例，1≤N≤100，N 個砝碼總重不超過 100000。

二、思路：

　　這道題中，可以發現放入第一個砝碼的時候，只能稱出一個值，放入第二個砝碼的時候，可以只放第二個砝碼稱出一個值，可以把第一個放左邊第二個放右邊稱出一個值，可以把第一個放右邊邊第二個放左邊又稱出一個值。而第三個砝碼出現的時候，我們可以根據之前得到的值加上砝碼來得到新的值。總而言之，就是動態規劃。

　　這樣題目就化簡為了如何用舊的值推出新的值，我們用一個一維陣列來儲存可以表示出的值，對每一個新的值引入的時候，我們做以下操作來推出新的值（設舊的值為j，新的值為a，陣列名為b）

　　b[j+a]=1;（將j和a看作砝碼的話，就是j和a都放右邊（左物右碼））

　　b[j-a]=1;（將j和a看作砝碼的話，就是j放右邊a放左邊）

　　b[a-j]=1;（將j和a看作砝碼的話，就是j放左邊a放右邊）

　　只不過這樣子會放出負數，而資料範圍說了砝碼總重不超過100000，所以最後操作的時候我們要把所有值都加100000防止訪問到負數。

　　以題中所給的樣例為例進行演算：

　　放入一個砝碼重量為1時（w為可以稱出的重量）：

　　w=1；

　　放入二個砝碼重量為1，4時：

　　w=1+4=5；（用w=1來求）

　　w=1-4=-3；

　　w=4-1=3；

　　w=4；

　　放入三個砝碼重量為1，4，6時：

　　w=1+6=7；（用w=1來求）

　　w=1-6=-5；

　　w=6-1=5；

　　w=5+6=11；（用w=1+4=5來求）

　　w=5-6=-1；

　　w=6-5=1；

　　w=-3+6=3；（用w=1-4=3來求）

　　w=-3-6=-9；

　　w=6-(-3)=9；

　　w=3+6=9；（用w=4-1=3來求）

　　w=3-6=-3；

　　w=6-3=3；

　　w=4+6=10；（用w=4來求）

　　w=4-6=-2；

　　w=6-4=2；

　　w=6；

　　上面所有不重複的正數（也就是標藍的）數量就是答案：10。

　　思路已經明瞭，所以程式呼之欲出：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int main(int argc, char const *argv[])
 5 {
 6     int b[200001];//是否被稱出，以及是前幾個稱出的
 7     memset(b,0,sizeof(b));
 8     int n;
 9     cin>>n;
10     int a;
11     for (int i = 1; i <= n; i++)
12     {
13         cin>>a;
14         for (int j = 0; j <= 200000; j++)
15         {
16             if(b[j]!=i&&b[j]!=0)
17             {
18                 if(b[j+a] == 0)b[j+a]=i;
19                 if(b[j-a] == 0)b[j-a]=i;
20                 if(b[200000+a-j] == 0)b[200000+a-j]=i;
21             }
22         }
23         b[a+100000] = i;
24     }
25     int sum = 0;
26     for (int i = 100001; i <= 200000; i++)
27     {
28         if(b[i]!=0)
29         {
30             sum++;
31         }
32     }
33     cout<<sum;
34 
35     return 0;
36 }

其中

 1     for (int i = 1; i <= n; i++)
 2     {
 3         cin>>a;
 4         for (int j = 0; j <= 200000; j++)
 5         {
 6             if(b[j]!=i&&b[j]!=0)
 7             {
 8                 if(b[j+a] == 0)b[j+a]=i;
 9                 if(b[j-a] == 0)b[j-a]=i;
10                 if(b[200000+a-j] == 0)b[200000+a-j]=i;
11             }
12         }
13         b[a+100000] = i;
14     }