問題描述 　　X 國王有一個地宮寶庫。是 n x m 個格子的矩陣。每個格子放一件寶貝。每個寶貝貼著價值標簽。

　　地宮的入口在左上角，出口在右下角。

　　小明被帶到地宮的入口，國王要求他只能向右或向下行走。

　　走過某個格子時，如果那個格子中的寶貝價值比小明手中任意寶貝價值都大，小明就可以拿起它（當然，也可以不拿）。

　　當小明走到出口時，如果他手中的寶貝恰好是k件，則這些寶貝就可以送給小明。

　　請你幫小明算一算，在給定的局面下，他有多少種不同的行動方案能獲得這k件寶貝。 輸入格式 　　輸入一行3個整數，用空格分開：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)

　　接下來有 n 行數據，每行有 m 個整數 Ci (0<=Ci<=12)代表這個格子上的寶物的價值 輸出格式 　　要求輸出一個整數，表示正好取k個寶貝的行動方案數。該數字可能很大，輸出它對 1000000007 取模的結果。 樣例輸入 2 2 2
1 2
2 1 樣例輸出 2 樣例輸入 2 3 2
1 2 3
2 1 5 樣例輸出 14

dp+記憶化dfs。這題目類似於數字三角形問題。dp 的狀態轉移方程為

這題目最難理解的地方可能就是遞歸的出口

1、如果當前dp[i][j][k][v]之前就被訪問過，直接返回值。

2、如果到達出口，判斷是否已經擁有了k件物品，如果有，則不取，方案為1；判斷是否有k-1件物品且要取的物品價值是否比所有的都大，如果是，方案為1；否則返回0。

AC代碼：

 1 #include<iostream>
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define MOD 1000000007
 4 #define ll long long
 5 using namespace
 
 std;
 6 ll dp[60][60][105][20];
 7 ll mp[60][60];
 8 ll n,m,k;
 9 ll dfs(ll i,ll j,ll num,ll max_value){
10     ll cnt=0;
11     if(dp[i][j][num][max_value]!=-1){
12         return dp[i][j][num][max_value]; //遞歸出口
13     }
14     if(i==n-1&&j==m-1){ //判斷是否到達出口
15         if(num==k||(num==k-1&&mp[i][j]>max_value)){
 
16             dp[i][j][num][max_value]=1;
17             return dp[i][j][num][max_value];
18         }else{
19             dp[i][j][num][max_value]=0;
20             return dp[i][j][num][max_value];
21         }
22     }
23     if(i<n-1){
24         if(mp[i][j]>max_value){
25             cnt=(cnt+dfs(i+1,j,num+1,mp[i][j]))%MOD;
26         }
27         cnt=(cnt+dfs(i+1,j,num,max_value))%MOD;
28     }
29     if(j<m-1){
30         if(mp[i][j]>max_value){
31             cnt=(cnt+dfs(i,j+1,num+1,mp[i][j]))%MOD;
32         }
33         cnt=(cnt+dfs(i,j+1,num,max_value))%MOD;
34     }
35     dp[i][j][num][max_value]=cnt%MOD;
36     return dp[i][j][num][max_value];
37 }
38 int main(){
39     memset(dp,-1,sizeof(dp));
40     cin>>n>>m>>k;
41     for(ll i=0;i<n;i++){
42         for(ll j=0;j<m;j++){
43             scanf("%d",&mp[i][j]);
44             mp[i][j]++;  //防越界
45         }
46     }
47     cout<<dfs(0,0,0,0)<<endl;
48     return 0;
49 }

藍橋杯-地宮取寶