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［UVALive - 7040］Color　［容斥　恰好ｋ個］

阿新 • • 發佈：2018-11-09

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題意: 用ｍ種顏色染一個線性格子，相鄰格子顏色不同，問恰好染ｋ種顏色的方案數．
至多用ｋ個顏色的方案數目為 k ∗ ( k − 1 )

k * (k - 1)
但是要求的是恰好ｋ個顏色，考慮容斥
A i A_i 表示不用 i 號
顏 色 i號顏色 然後考慮對立面，
∣ A 1 ‾
∩ A 2 ‾ ∩ . . . ∩ A k ‾ ∣ | \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap...\cap\overline{A_k} | = k ∗ ( k − 1 ) n − 1 − ∣ A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A k ∣ =k * (k - 1)^{n-1} -|{A_1}\cup{A_2}\cup{...}\cup{A_k}|
= k ∗ ( k − 1 ) n − 1 − ∑ ∣ A i ∣ + ∑ ∣ A i ∩ A j ∣ + . . . + ( − 1 ) k ∑ ∣ A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A k ∣ = k*(k-1)^{n-1}-\sum|A_i|+\sum|A_i\cap A_j|+...+(-1)^k\sum|A_1 \cap A_2\cap...\cap A_k|
∑ ∣ A i ∣ = C k 1 ∗ ( k − 1 ) ∗ ( k − 2 ) n − 1 \sum|A_i| = C_k^1*(k-1)*(k-2)^{n-1}
∑ ∣ A i 1 ∩ A i 2 ∩ . . . ∩ A i j ∣ = C k j ∗ ( k − j ) ∗ ( k − j − 1 ) n − 1 \sum|A_{i_1} \cap A_{i_2}\cap...\cap A_{i_j}| = C_k^{j}*(k-j)*(k-j-1)^{n-1}
a n s = ∣ A 1 ‾ ∩ A 2 ‾ ∩ . . . ∩ A k ‾ ∣ ∗ C m k ans=| \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap...\cap\overline{A_k} |*C_m^k
C m k C_{m}^{k} 可以利用遞推得到: C m k = C m k − 1 ∗ m − k + 1 k C_{m}^{k} = C_{m}^{k-1} * \frac {m-k+1}{k}
程式碼

/***********************************************
Author        :lzs
Created Time  :2018年10月19日 星期五 17時49分21秒
File Name     :Color.cpp
 ************************************************/
#include <bits/stdc++.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <math.h>
#include <stack>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
#define rep(i, l, r) for(int i = l; i < r; i++)
#define per(i, r, l) for(int i = r; i >= l; i--)
#define dbgln(...) cerr<<"["<<#__VA_ARGS__":"<<(__VA_ARGS__)<<"]"<<"\n"
#define dbg(...) cerr<<"["<<#__VA_ARGS__":"<<(__VA_ARGS__)<<"]"


typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int>pii;

const int N = (int) 1e6 + 20;
const int M = (int) 1e6 + 11;
const int MOD = (int) 1e9 + 7;
const int INF = (int) 0x3f3f3f3f;
const ll INFF = (ll) 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
/*-----------------------------------------------------------*/

int Pow(int a, int b, int c = MOD){
	int s = 1; a %= c;
	while(b){
		if(b & 1) s = s * 1ll * a % c;
		b >>= 1;
		a = a * 1ll * a % c;
	}
	r

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