MIT_線性代數筆記_04_A的LU分解

Lecture 4: Factorization into A = LU
課程 4：A的LU分解

LU分解

我們從另一種角度來看待 Gauss 消元。

首先考慮沒有行交換的情形（也就是主元位置的元素不為 0）。

對矩陣 A 進行 Gauss 消元相當於用一系列初等矩陣左乘 A 從而得到上三角矩陣 U.

以 3×3 矩陣為例。

設 A 是一個 3×3 矩陣，E21,E31,E32 是初等矩陣（Eij 將 (i,j) 位置的元素消為 0），U 是消元后所得到的上三角矩陣，即

E32E31E21A=U.
因此
A=E−121E−131E−132U.
記
E=E32E31E21

,L=E−121E−131E−132,
則以上兩式即為
EA=U,A=LU.

下面我們通過例子來說明為什麼希望得到 A=LU 的形式而不是 EA=U.

不妨取

E21=⎛⎝⎜1−20010001⎞⎠⎟,E31=I,E32=⎛⎝⎜10001−5001⎞⎠⎟,
則
E=E32E31E21=⎛⎝⎜1−21001−5001⎞⎠⎟,
L=E−121E−131E−132=⎛⎝⎜120010001⎞⎠⎟⎛⎝⎜100015001⎞⎠⎟=⎛⎝⎜12001

MIT_線性代數筆記_04_A的LU分解

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