1005 繼續(3n+1)猜想 (25)(25 分)通俗詳解
1001回顧:
1001 害死人不償命的(3n+1)猜想 (15)(15 分)
卡拉茲(Callatz)猜想:
對任何一個自然數n,如果它是偶數,那麼把它砍掉一半;如果它是奇數,那麼把(3n+1)砍掉一半。這樣一直反覆砍下去,最後一定在某一步得到n=1。卡拉茲在1950年的世界數學家大會上公佈了這個猜想,傳說當時耶魯大學師生齊動員,拼命想證明這個貌似很傻很天真的命題,結果鬧得學生們無心學業,一心只證(3n+1),以至於有人說這是一個陰謀,卡拉茲是在蓄意延緩美國數學界教學與科研的進展……
我們今天的題目不是證明卡拉茲猜想,而是對給定的任一不超過1000的正整數n,簡單地數一下,需要多少步(砍幾下)才能得到n=1?
輸入格式:每個測試輸入包含1個測試用例,即給出自然數n的值。
輸出格式:輸出從n計算到1需要的步數。
1001通過程式碼:
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n,cnt=0;
cin>>n;
while(n!=1)
{
if(n%2==0)
n/=2;
else
n=(3*n+1)/2;
cnt++;
}
cout<<cnt;
return 0;
}
1005 繼續(3n+1)猜想 (25)(25 分)
卡拉茲(Callatz)猜想已經在1001中給出了描述。在這個題目裡,情況稍微有些複雜。
當我們驗證卡拉茲猜想的時候,為了避免重複計算,可以記錄下遞推過程中遇到的每一個數。例如對n=3進行驗證的時候,我們需要計算3、5、8、4、2、1,則當我們對n=5、8、4、2進行驗證的時候,就可以直接判定卡拉茲猜想的真偽,而不需要重複計算,因為這4個數已經在驗證3的時候遇到過了,我們稱5、8、4、2是被3“覆蓋”的數。我們稱一個數列中的某個數n為“關鍵數”,如果n不能被數列中的其他數字所覆蓋。
現在給定一系列待驗證的數字,我們只需要驗證其中的幾個關鍵數,就可以不必再重複驗證餘下的數字。你的任務就是找出這些關鍵數字,並按從大到小的順序輸出它們。
輸入格式:每個測試輸入包含1個測試用例,第1行給出一個正整數K(<100),第2行給出K個互不相同的待驗證的正整數n(1<n<=100)的值,數字間用空格隔開。
輸出格式:每個測試用例的輸出佔一行,按從大到小的順序輸出關鍵數字。數字間用1個空格隔開,但一行中最後一個數字後沒有空格。
輸入樣例:
6
3 5 6 7 8 11
輸出樣例:
7 6
分析:
本題要求大致為通過不斷呼叫1001的演算法來尋找“關鍵數”。“關鍵數”指不被組內其他數字“覆蓋”的數,則可先設計判定某個數字是否被“覆蓋”的函式,函式入口必須有根據1001演算法變化的數字A或其在陣列中的位置和待判定是否被“覆蓋”的數字B。如果A在某次變化後等於B,說明B被A“覆蓋”,如果A每次變化後都不等於B,則B不被A“覆蓋”。
在設計完第1個函式後,設計第2個函式以判定某個數字是否被陣列內其他數字“覆蓋”,函式入口必須有待判定數字或待判定數字在陣列中的位置,使用迴圈遍歷陣列,函式體不斷呼叫第1個函式,如果組內某一個數字“覆蓋”待判定數字,說明該數字不是“關鍵數”。如果待判定數不被組內其他數字“覆蓋”,說明該數是“關鍵數”。
設計完兩個函式後,在主函式體內,定義一個新陣列,再遍歷原陣列,每次呼叫第2個函式,判定當前數是否為“關鍵數”,如果是,則存入新陣列。最後對新陣列排序,輸出即可。
程式碼:
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool cmp(int a,int b)//適應題目的降序排序要求
{
return a>b;
}
bool Covered(int *a,int pos,int len,int cmpnum)
{//函式入口傳入儲存輸入數的陣列,陣列下標,陣列長度,待比較數
int n=a[pos];
while(n!=1)
{//如果n變化後等於關鍵字,說明n即a[pos]覆蓋待比較數,返回真
if(n%2==0)
{
n/=2;
if(n==cmpnum)
return true;
}
else
{
n=(3*n+1)/2;
if(n==cmpnum)
return true;
}
}
return false;//如果迴圈結束,說明n即a[i]不覆蓋待比較數,返回假
}
bool Judge(int *a,int i,int len)
{
for(int j=0;j<len;j++)
if(j!=i)//對陣列內其他數字操作並與a[i]比較
{
if(Covered(a,j,len,a[i]))//如果a[i]被a[j]覆蓋
return false;//說明a[i]不是關鍵數,返回假
}
return true;//如果迴圈結束,說明a[i]是關鍵數,返回真
}
int main()
{
int k,a[100],b[100];
cin>>k;
for(int i=0;i<k;i++)
cin>>a[i];
int len=0;
for(int i=0;i<k;i++)
if(Judge(a,i,k))//如果當前數字是關鍵數
b[len++]=a[i];//存入新陣列
sort(b,b+len,cmp);//通過介面呼叫排序演算法
for(int i=0;i<len;i++)//輸出
{
cout<<b[i];
if(i!=len-1)
cout<<' ';
}
return 0;
}