Catalan Number 卡特蘭數
關於擴充套件的卡特蘭數:
1.(n-m+1)/(n+1)*c(n+m,n)
2.c[n+m][n]-c[n+m][m-1]
Catalan,Eugene,Charles,卡特蘭(1814~1894)比利時數學家,生於布魯日(Brugge),早年在巴黎綜合工科學校就讀。1856年任列日(Liege)大學數學教授,並被選為比利時布魯塞爾科學院院士。
卡特蘭一生共發表200多種數學各領域的論著。在微分幾何中,他證明了下述所謂的卡特蘭定理:當一個直紋曲線是平面和一般的螺旋麵時,他只能是實的極小曲面。他還和雅可比(Jacobi,C·G·J)同時解決了多重積分的變數替換問題,建立了有關的公式。
1842年,他提出了一種猜想:方程xz
(mathoe注:即除了8、9這兩個連續正整數都是正整數的方冪外,沒有其他。1962年我國數學家柯召以極其精湛的方法證明了不存在三個連續正整數,它們都是正整數的方冪,以及方程x2-yn=1,n>1,xy≠0無正整數解。並且還證明了如果卡特蘭猜想不成立,其最小的反例也得大於1016。)
此外,卡特蘭還在函式論、伯努利數和其他領域也做出了一定的貢獻。
卡特蘭通過解決凸n邊形的剖分得到了數列Cn。
凸n+2邊形用其n-1條對角線把此凸n+2邊形分割為互不重疊的三角形,這種分法的總數為Cn。
為紀念卡特蘭,人們使用“卡特蘭數”來命名這一數列。
據說有幾十種看上去毫不相干的組合計數問題的最終表示式都是卡特蘭數的形式。
卡特蘭數在數學競賽、資訊學競賽、組合數學、計算機程式設計等都會有其不同側面的介紹。
前幾個卡特蘭數:規定C0=1,而
C1=1,C2=2,C3=5,C4=14,C5=42,
C6=132,C7=429,C8=1430,C9=4862,C10=16796,
C11=58786,C12=208012,C13=742900,C14=2674440,C15=9694845。
遞推公式
圓周上有標號為1,2,3,4,……,2n的共計2n個點,這2n個點配對可連成n條弦,且這些弦兩兩不相交的方式數為卡特蘭數Cn。
2003年浙江省小學數學夏令營競賽考了這個題:圓周上10個點可以連成既不相交,也沒有公共端點的5條線段,不同的連法共有_____種。
答:方法的種數是卡特蘭數C5=42,此題被收錄進單墫主編的知識出版社出版的《華數奧賽強化訓練》小學六年級冊的“計數問題”專題。
共六種型別,第1類有5種連法,第2類有2種連法,第3類有10種連法,第4類有10種連法,第5類有10種連法,第6類有5種連法。共有42種連法。
1994年《小學數學》有獎徵答競賽:遊樂園門票1元一張,每人限購一張。現在有10個小朋友排隊購票,其中5個小朋友每人只有1元的鈔票一張,另5個小朋友每人只有2元的鈔票一張,售票員沒有準備零錢。問:有多少種排隊方法,使售票員總能找的開零錢?
(此題也被許多奧數資料收錄為例題或習題,《華羅庚學校數學課本》小學六年級冊的思維訓練也收有此題)
答:現把拿1元的5個小朋友看成是相同的,把拿2元的5個小朋友也看成是相同的,使用我們常用的“逐點累加法”:
圖中每條小橫段表示拿1元的小朋友,每條小豎段表示拿2元的小朋友,要求從A走到B的過程中網格中任何點均有橫段數不小於豎段數:拿1元的要先,且人數不能少於拿2元的,即不能越過對角線AB:每個點所標的數即為從A走到此點的方法數。求從A到B的走法的方法數。逐點累加可求出為42,即卡特蘭數C5=42。
又由於每個小朋友是不相同的,所以共有42×5!×5!=42×120×120=604800種情況。
若把此題的10個人,拿1元的有5人,拿2元的有5人改為共有2n個人,拿1元的n人,拿2元的n人,則符合要求的排隊方法數為:
再一個卡特蘭數的例子:
甲乙兩人比賽乒乓球,最後結果為20∶20,問比賽過程中甲始終領先乙的計分情形的種數。
即甲在得到1分到19分的過程中始終領先乙,其種數是卡特蘭數
再一個卡特蘭數的例子
飯後,姐姐洗碗,妹妹把姐姐洗過的碗一個一個放進碗櫥摞成一摞。一共有n個不同的碗,洗前也是摞成一摞的,也許因為小妹貪玩而使碗拿進碗櫥不及時,姐姐則把洗過的碗摞在旁邊,問:小妹摞起的碗有多少種可能的方式?
答:得數是第n個卡特蘭數Cn。
再一個卡特蘭數的例子
一個汽車隊在狹窄的路面上行駛,不得超車,但可以進入一個死衚衕去加油,然後再插隊行駛,共有n輛汽車,問共有多少種不同的方式使得車隊開出城去?
答:得數是第n個卡特蘭數Cn。
卡特蘭數
求證:卡特蘭數Cn是整數。
證明:
①取整函式不等式:對任意實數x,y有[x+y]≥[x]+[y]。這裡[x]表示不大於實數x的最大整數。
解:由定義x≥[x]……(1)
y≥[y]……(2)以上兩式相加,得:x+y≥[x]+[y],
把上式再取整,得:[x+y]≥[[x]+[y]]=[x]+[y],即[x+y]≥[x]+[y]。
②1000!的末尾0的個數249個。(現在有的小學奧數書上出現了100!末尾有幾個零的題目:24個)
解:1000÷5=200,
200÷5=40,
40÷5=8,
8÷5=1……3
以上各商相加,即得1000!末尾0的個數=200+40+8+1=249個。
③n!的質因數分解式中質因子p的冪次數:
…………(1)
k!的質因數分解式中質因子p的冪次數
…………(2)
(n-k)!的質因數分解式中質因子p的冪次數
…………(3)
這裡寫成西格馬求和式時使用了無窮的形式,但是從某一確定項之後的每項都是0,為了統一,都寫成了“∞”形式。
④組合數是整數
解:
⑤卡特蘭數是整數
⑥卡特蘭數是整數的另外一個證明
④組合數是整數
⑤卡特蘭數是整數
⑥卡特蘭數是整數的另一個證明
凸六邊形剖分成三角形的14種方法,是卡特蘭數C4
從左下角(0,0)走到右上角(4,4),只允許向上、向右走,但不允許穿過對角線的方法數是14種,是卡特蘭數C4
1979第21屆國際數學奧林匹克 第1題考了一個卡特蘭恆等式的應用的題目
此題由1989年第1屆匈牙利-以色列數學競賽題改編。
相關推薦
Catalan Number 卡特蘭數
關於擴充套件的卡特蘭數:1.(n-m+1)/(n+1)*c(n+m,n) 2.c[n+m][n]-c[n+m][m-1]Catalan,Eugene,Charles,卡特蘭(1814~1894)比利時數學家,生於布魯日(Brugge),早年在巴黎綜合工科學校就讀。1856
棧 | 卡特蘭數(Catalan number)
文章目錄 1.棧與卡特蘭數的關係 2.卡特蘭數 3.擴充套件 4.相關題目 1.棧與卡特蘭數的關係 棧是計算機中經典的資料結構,我們也會遇到一個常見的問題:一共有多少種合法的出棧順序? 先說一下什麼是合法的出棧序列, 凡是
卡特蘭數——Catalan Number
卡特蘭數:數學組合中一個常出現在各種計數問題中的數列,以比利時的數學家歐仁·查理·卡特蘭的名字命名。 從第0項開始依次為:1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845
卡特蘭數(catalan number)
1. 卡特蘭數是什麼 卡塔蘭數是組合數學中一個常在各種計數問題中出現的數列。 公式為 : 前幾項為 (n=0,1,2,3,4,5時): 1, 1, 2, 5, 14, 42
程式設計師數學--卡特蘭數(Catalan number)
10個高矮不同的人,排成兩排,每排必須是從矮到高排列,而且第二排比對應的第一排的人高,問有多少種排列方式? 我們可以先把這10個人從低到高排列,然後,選擇5個人排在第一排,那麼剩下的5個人肯定是在第二排。用0表示對應的人在第一排,用1表示對應的人在第二排,那麼含有5個0
卡特蘭數(Catalan Number) 演算法、數論 組合~
Catalan number,卡特蘭數又稱卡塔蘭數,是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列。以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名。 卡特蘭數的前幾個數 前20項為(OEIS中的數列A000108):1, 1, 2, 5,
棧和卡特蘭數(Catalan number)
1.棧與卡特蘭數的關係 棧是計算機中經典的資料結構,我們也會遇到一個常見的問題:一共有多少種合法的出棧順序? 先說一下什麼是合法的出棧序列, 凡是合法序列都遵循以下規律:即對於出棧序列中的每一個數字,在它後面的、比它小的所有數字,一定是按遞減順序排列的。 例如
(轉載)Catalan數——卡特蘭數
出現 註意 城市 ads 大於 編號 只有一個 導致 一個點 Catalan數——卡特蘭數 今天阿裏淘寶筆試中碰到兩道組合數學題,感覺非常親切,但是筆試中失蹤推導不出來後來查了下,原來是Catalan數。悲劇啊,現在整理一下一、Catalan數的定義令h(1)=1,Cata
卡特蘭數Catalan
bsp 凸包 net 規律 序列 targe 不同 target 二叉 推薦:卡特蘭數總結 定義 公式 模型與例題 1.火車進棧 luogu棧 2.合法括號序列 牛客9.16普及組T4 3.0/1走 4.凸包三角形劃分。 5.n個點二叉樹不同形態方案數。
卡特蘭數(Catalan)及其應用
入棧 一個 其中 無法 數列 選擇 每天 編號 匹配 卡特蘭數 大佬博客https://blog.csdn.net/doc_sgl/article/details/8880468 卡特蘭數是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列。 卡特蘭數前幾項為 : C0=
<Catalan>楊輝三角實現卡特蘭數計算方法
算是刷到一個比較好的方法吧 計算卡特蘭數(Catalan) h(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1) #include<cstdio> #define siz 20 using namespace std; int n; int c[siz*
Catalan數——卡特蘭數
一、Catalan數的定義 令h(0)=1,h(1)=1,Catalan數滿足遞迴式:h(n) = h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2) 該遞推關係的解為:h(n) = C(2n,n)/(n+1),
Catalan(卡特蘭)數及定理的簡要證明------附上簡要程式碼
Catalan數很重要, 學計算機的, 沒有不知道這個的, 我這個非計算機專業的學生, 也來湊湊熱鬧: catalan數和上述定理的應用非常普遍, 也是很多IT公司筆試面試的常考點之一, 其變換方式層出不窮, 有興趣的朋友可以百
卡特蘭數(Catalan)的原理和題目
Catalan數的定義令h(1)=1,Catalan數滿足遞迴式:h(n) = h(1)*h(n-1) +h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1),n>=2該遞推關係的解為: 證明: 令1表示進棧,0表示出棧,則可轉化為求一個2n位、含n個1、n個0的二進位制數,滿
卡特蘭數在多種問題下的應用 組合數學-Catalan數
4)排隊順序問題1】長度為2n的Dyck words有多少種?(Dyck words是由n個X和n個Y組成的字串,其有一個特點:從左往右,對X和Y分別計數,Y的個數始終不大於X的個數。)轉化思路:可以把X看作入棧,Y看作出棧,Y的個數始終不大於X的個數這一性質正好和空棧無法再出棧相一致,所以Dyck word
卡特蘭數catalan證明及應用舉例
卡塔蘭數是組合數學中一個常在各種計數問題中出現的數列。其計算公式是 Cn=Cn2nn+1=(2n)!(n+1)!n!,n為自然數 C n
卡特蘭數 Catalan數 ( ACM 數論 組合 )
卡塔蘭數 卡塔蘭數是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列。由以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名。 卡塔蘭數的一般項公式為 另類遞迴式: h(n)=((4*n-2)/(n+1)
卡特蘭數[catalan數]`
定義: 卡特蘭數又叫卡塔蘭數,是組合數學中一類常用的數列。前幾項為:1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 74290
卡特蘭數——Catalan數
卡特蘭數是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列。由以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名。 卡塔蘭數的一般項公式為 通常使用的遞迴式: h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-
Catalan數(卡特蘭數)
公式: n <= 2 時, f(n) = n; n > 2時, f(n) = (4n - 2) / (n+1) * f(n-1) 1-100的卡特蘭數列表如下: n f(n) 1 1 2 2 3 5