今天做了一道關於調和級數的題目，之前接觸有關級數的“神馬”還是在高數上，當時只是研究了調和級數的發散還是收斂等關係，10^8那麼大的資料正常跑肯定會超時不是，一直都不知道對於這個偉大的級數來說，還有一個計算它的公式，淺嘗輒止了，不該，不該。。。今天特地去問了度娘，公式是能用，但是對於這個題目的資料來說，還是需要一點小技巧的，具體分析如下：

為了更方便看（還有後來者的搜尋，(*^__^*) 嘻嘻……），我還是把題面粘上吧！

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Description
In mathematics, the nth harmonic number is the sum of the reciprocals of the first n natural numbers:


In this problem, you are given n, you have to find Hn.

Input
Input starts with an integer T (≤ 10000), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n ≤ 108).

Output
For each case, print the case number and the nth harmonic number. Errors less than 10-8 will be ignored.

Sample Input
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
90000000
99999999
100000000
Sample Output
Case 1: 1
Case 2: 1.5
Case 3: 1.8333333333
Case 4: 2.0833333333
Case 5: 2.2833333333
Case 6: 2.450
Case 7: 2.5928571429
Case 8: 2.7178571429
Case 9: 2.8289682540
Case 10: 18.8925358988
Case 11: 18.9978964039
Case 12: 18.9978964139 

題目不難，先看資料，1.雖然輸出五花八門，但是不用管它，精度能保證在10 ^-8就沒問題，直接用%.10lf 即可；2. n的範圍是10^8，肯定不能正常跑，但是我們有公式，不怕，前面10000個可以正常打表，後面的我們就用公式，再說了，這個公式能成立，本來就是在n比較大的時候，公式如下：  r為常數，r=0.57721566490153286060651209（r就是尤拉常數）。

特別注意，由於題目要求精度為10^-8，常數r也是前人推匯出來的，然而也只推導了有限位數，所以正常利用這個公式，並不能達到精度要求，我們只好比較樣例和我們自己輸出的資料，增添一些可行的項，經嘗試，在原公式的基礎上，再減去一個1.0/(2*n)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;
#define R 0.57721566490153286060651209

double ans[10010];
int main()
{
    int t,n,casenum=0;
    double sum;
    ans[1]=1;
    for(int i=2; i<=10000; i++)
    {
        ans[i]=ans[i-1]+1.0/i;
    }
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        if(n<=10000)
        {
            printf("Case %d: ",++casenum);
            printf("%.10lf\n",ans[n]);
        }
        else
        {
            sum=log(n+1)+R-1.0/(2*n);
            printf("Case %d: ",++casenum);
            printf("%.10lf\n",sum);
        }
    }
    return 0;
}
 

其實，如果只靠打表，而且是有技術含量的打表，也能很好的解決這個問題，既然10^8的表我們打不出來，但是200萬的表我們還是能打的，這樣一來，我們先平均分而且間隔著，每50個記錄一個，先把分佈在10^8資料中的值放在表裡，真正計算時，我們便先找到距離我們的n最近的且小於n的在表中存過資料的一個數，然後再在這個數的基礎上遞推這往下算，這樣一來，便大大降低了時間複雜度，太囉嗦了，還是看程式碼吧！

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;
#define MAX 100000000

double ans[2000100];
int main()
{
    int t,n,k;
    int casenum;
    casenum=0;
    double sum=0.0;
    k=0;
    ans[0]=0;
    for(int i=1;i<=MAX;i++)
    {
        sum+=1.0/i;
        if(i%50==0)
        {
            ans[++k]=sum;
        }
    }
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        int yushu=n%50;
        int num=n/50;
        double s;
        s=ans[num];
        for(int i=50*num+1;i<=n;i++)
        {
            s+=1.0/i;
        }
        printf("Case %d: %.10lf\n",++casenum,s);
    }
    return 0;
}