題意

小Q有一個集合S$S$，它的元素個數|S|=n$|S|=n$。
對於S$S$的任意一個子集合T$T$，定義f(T)=|T|k$f(T)=|T{|}^k$，定義T$T$關於S$S$的補集為S−T$S-T$。
小Q想知道，如果他等概率地選擇一個S$S$的子集T$T$，那麼f(T)−f(S−T)$f(T)-f(S-T)$的方差是多少。
由於這個方差值可能很大，不妨設其為v$v$，你只需要給出(v⋅2n)modm$(v\cdot 2^n)modm$的值即可。
k≤n≤10106,1<=k<=106,m是質數,2<=m<=106$k\le n\le {10}^{{10}^6},1<=k<={10}^6,m是質數,2<=m<={10}^6$

分析

注意到f(T)

−f(S−T)$f(T)-f(S-T)$的平均數是0，那麼我們要求的其實就是

∑i=0nCin(ik−(n−i)k)2$$\sum _{i=0}^n{C}_n^i(i^k-(n-i{)}^k{)}^2$$
因為根據lucas定理有Cinmodm=Ci/mn/m∗Cimodmnmodmmodm$$C_n^{i}modm=C_{n/m}^{i/m}\ast C_{nmodm}^{imodm}modm$$所以我們只用考慮所有滿足imodm<=nmodm$imodm<=nmodm$的i$i$即可。
然後就開始推式子：
ans=∑i=0⌊nm⌋∑j=0nmodmCim+jn((im+j)k−(n−im−j)k)2$$ans=\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }\sum _{j=0}^{nmodm}{C}_n^{im+j}((im+j{)}^k-(n-im-j{)}^k{)}^2$$
=∑

i=0⌊nm⌋Ci⌊nm⌋∑j=0nmodmCjnmodm(jk−(n

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