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泰勒展開式的理解

阿新 • • 發佈：2019-02-13
泰勒展開還是很好理解的，我就我以前學習高數時候根據看課本的理解的在這裡大概講一下吧。
在實際應用中對於具有複雜形式的函式我們常常希望用較為簡單的函式形式表示他，那多項式就是這種簡單的形式。
首先還是先回到函式的區域性線性近似這個概念。
舉個栗子，例如函式y=x^3，當自變數有變化時，即\Delta x，自變數y會變化\Delta y,帶入到函式裡面就有
\Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3
當\Delta x \rightarrow 0時，上式的後兩項是\Delta x的高階無窮小捨去的話上式就變成了
\Delta y=3x^2\Delta x
也就是說當自變數x足夠小的時候，也就是在某點的很小的鄰域內，\Delta y是可以表示成\Delta x的線性函式的。線性函式計算起來，求導起來會很方便。
對於一般函式，當在某點很小領域內我們也可以寫成類似上面的這種自變數和因變數之間線性關係，
\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\approx f'(x_0)*\Delta x
變化一下形式
\Delta y=f(x)-f(x_{0} ), \Delta x = x-x_0在代入上式就有，
f(x)-f(x_0)=f'(x_0)*(x-x_0)
,移項有，
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)
這個式子是不是很面熟？這個就是在x_0點鄰域內舍掉高階無窮小項以後得到的區域性線性近似公式了。為了提高近似的精確度，於是把上面的一次近似多項式修正為二次多項式（利用洛必達法則和二階導數定義，為了理解推導忽略），在進一步，二次修正為三次。。。一直下去就得到了n階泰勒多項式了。
所謂更精確的近似也就是有了更高的密切程度，這種程度是通過導數來體現的。
例如只做了一次近似的話，
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)
近似的多項式和原始函式是通過同一點x_0的。
若進行二次近似，
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)
近似的多項式和原始函式既過同一點，而且在同一點的導數相同，也就是多項式表達的函式在x_0點的切線也相同。
類似進行三次近似的話，不僅經過同一點，切線相同，彎曲程度也相同了。
一直下去。。。。
這樣近似相關程度多大，近似的也就越精確了。

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