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淺顯易懂——泰勒展開式

第一次見到泰勒展開式的時候,我是崩潰的。泰勒公式長這樣:

好奇泰勒是怎麼想出來的,我想,得儘量還原公式發明的過程才能很好的理解它。

首先得問一個問題:泰勒當年為什麼要發明這條公式?

因為當時數學界對簡單函式的研究和應用已經趨於成熟,而複雜函式,比如:這種一看就頭疼的函式,還有那種根本就找不到表示式的曲線。除了代入一個x可以得到它的y,就啥事都很難幹了。所以泰勒同學就迎難而上!決定讓這些式子統統現出原形,統統變簡單。

讓我們沿著泰勒同學(假裝泰勒是這麼想的)的思路來:

要讓一個複雜函式變簡單,能不能把它轉換成別的表示式?比如函式,怎麼看都看不出思路,怎麼辦呢?我們先不要一口吃掉它,可以先從它最小的部分算起,比如說一個點

。可以得到:。暫時看不出有什麼規律。

那就繼續增大研究的物件,比如說的領域。可以得到:,其中。好像還是看不出什麼規律?然鵝,聰明的泰勒早以看穿一切。

因為,所以原式可以化為:。所以泰勒想是不是這樣:,即。嗯先假設是這樣,然後泰勒同學決定驗證一下。

先求個導試試:。對了,泰勒同學很激動!繼續求:,咦,不對了。那說明有了一些問題。仔細分析一下問題在哪呢?

我們可以嘗試把拆開來:,然後分析他們之間有什麼共性。

讓我們對進行求導看看:

一階導:,嗯多了個

二階導:,多了。好像有點規律了,

......

階導:

階導:0。是一個常數,所以對求導就是0了。

這裡規律很明顯了,

階導以後都是0!但是階導以前呢?還是蠻複雜的,不過不用擔心,因為,即,所以階導以前也都是0,而階導就是。perfect!

這樣就很清晰了:對階導為。但是我們想要的值是,那就把給除掉!

即乘於一個,所以,證明完畢。泰勒同學很開心!