第一次見到泰勒展開式的時候，我是崩潰的。泰勒公式長這樣：

好奇泰勒是怎麼想出來的，我想，得儘量還原公式發明的過程才能很好的理解它。

首先得問一個問題：泰勒當年為什麼要發明這條公式？

因為當時數學界對簡單函式的研究和應用已經趨於成熟，而複雜函式，比如：這種一看就頭疼的函式，還有那種根本就找不到表示式的曲線。除了代入一個x可以得到它的y，就啥事都很難幹了。所以泰勒同學就迎難而上！決定讓這些式子統統現出原形，統統變簡單。

讓我們沿著泰勒同學（假裝泰勒是這麼想的）的思路來：

要讓一個複雜函式變簡單，能不能把它轉換成別的表示式？比如函式，怎麼看都看不出思路，怎麼辦呢？我們先不要一口吃掉它，可以先從它最小的部分算起，比如說一個點

那就繼續增大研究的物件，比如說的領域，。可以得到：，其中，。好像還是看不出什麼規律？然鵝，聰明的泰勒早以看穿一切。

因為，所以原式可以化為：。所以泰勒想是不是這樣：，即。嗯先假設是這樣，然後泰勒同學決定驗證一下。

先求個導試試：。對了，泰勒同學很激動！繼續求：，咦，不對了。那說明有了一些問題。仔細分析一下問題在哪呢？

我們可以嘗試把拆開來：，然後分析他們之間有什麼共性。

讓我們對進行求導看看：

一階導：，嗯多了個。

二階導：，多了。好像有點規律了，

......

階導：

階導：0。是一個常數，所以對求導就是0了。

這裡規律很明顯了，

這樣就很清晰了：對求階導為。但是我們想要的值是，那就把給除掉！

即乘於一個，所以，證明完畢。泰勒同學很開心！