題意

題目描述

求有多少種長度為 n 的序列 A，滿足以下條件：

1 ~ n 這 n 個數在序列中各出現了一次

若第 i 個數 A[i] 的值為 i，則稱 i 是穩定的。序列恰好有 m 個數是穩定的

滿足條件的序列可能很多，序列數對 $10^9+7$ 取模。

輸入輸出格式

第一行一個數 T，表示有 T 組數據。

接下來 T 行，每行兩個整數 n、m。

輸出 T 行，每行一個數，表示求出的序列數

輸入輸出樣例

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

0
1
20
578028887
60695423

說明

測試點 1 ~ 3： $T$

測試點 4 ~ 6： $T=1000$，$n\le 12$，$m\le 12$；

測試點 7 ~ 9： $T=1000$，$n\le 100$，$m\le 100$；

測試點 10 ~ 12：$T=1000$，$n\le 1000$，$m\le 1000$；

測試點 13 ~ 14：$T=500000$，$n\le 1000$，$m\le 1000$；

測試點 15 ~ 20：$T$

分析

選出哪些元素固定，剩下的就是錯排問題。

錯排數遞推公式：
\[ D_0=1,D_1=0 \D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}) \quad n\ge 2 \]
答案為
\[ \binom nm D_{n-m} \]

時間復雜度\(O(n+T)\)

代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;

co int N=1e6+1,mod=1e9+7;
int num[N]={1,1},inv[N]={1,1},f[N]={1,0};
il int mul(int x,int y){return (ll)x*y%mod;}
int main(){
//  freopen(".in","r",stdin),freopen(".out","w",stdout);
    for(int i=2;i<N;++i){
        num[i]=mul(num[i-1],i);
        inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
        f[i]=mul(i-1,f[i-1]+f[i-2]);
    }
    for(int i=2;i<N;++i) inv[i]=mul(inv[i-1],inv[i]);
    for(int t=read<int>(),n,m;t--;){
        read(n),read(m);
        printf("%d\n",mul(num[n],mul(inv[n-m],mul(inv[m],f[n-m]))));
    }
    return 0;
}
 

LG4071 [SDOI2016]排列計數