1.問題描述

一個機器人位於一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為“Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為“Finish”）。

問總共有多少條不同的路徑？

例如，上圖是一個7 x 3 的網格。有多少可能的路徑？

示例 1:

輸入: m = 3, n = 2
輸出: 3
解釋:
從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

輸入: m = 7, n = 3
輸出: 28

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 題目資料保證答案小於等於 2 * 10 ^ 9

2.求解

排列組合

程式碼如下

    /*
    執行用時：0 ms, 在所有 Java 提交中擊敗了100.00% 的使用者
	記憶體消耗：35.1 MB, 在所有 Java 提交中擊敗了87.21% 的使用者
	*/
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m > n){
            return uniquePaths(n, m);
        }
        long ans = 1;
        for(int x = n, y = 1; y < m; x++, y++){
            ans = ans * x / y;
        }
        return (int) ans;
    }
 

• 時間複雜度：O(min(m,n))

• 空間複雜度：O(1)

動態規劃

• 我們使用i，j來表示從左上角走到(i, j)所走的步數，其中i < m，j < n

• 每次只能向下或者向右走一步，向下走一步那麼會從(i - 1, j)走來，向右走一步會從(i, j - 1)走來

  於是得出動態規劃方程

  dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

• 對於第一行 dp[0][j]，或者第一列 dp[i][0]，由於都是在邊界，所以只能為 1

程式碼如下

    /*
    執行用時：0 ms, 在所有 Java 提交中擊敗了100.00% 的使用者
	記憶體消耗：35.3 MB, 在所有 Java 提交中擊敗了71.93% 的使用者
	*/
	public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for(int i = 0; i < m; i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int i = 0; i < n; i++){
            dp[0][i] = 1;
        }
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
 

• 時間複雜度、空間複雜度均為O(m * n)

使用滾動陣列優化的動態規劃