拉普拉斯變換

1. 拉普拉斯變換

• 1. 拉普拉斯變換
  • 1.1. 定義
    • 1.1.1. 計算公式
    • 1.1.2. 收斂域的計算
    • 1.1.3. 拉氏變換與傅氏變換的關係
  • 1.2. 性質
  • 1.3. 常見的拉氏變換對

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1.1. 定義

1.1.1. 計算公式

\[\begin{aligned} F(s) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-st} dt\\ f(t) &= \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} F(s) e^{st} ds \end{aligned} \]

其中，\(s\)

是一個複數，可以寫為 \(s = \sigma + jw\)；
\(f(t)e^{-st} = f(t)e^{-\sigma t} \cdot e^{-jwt}\)，有點類似對 \(f(t)e^{-\sigma t}\) 進行傅氏變換。

1.1.2. 收斂域的計算

因為增加了一個收斂因子 \(e^{-\sigma t}\) ，只要找到合適的 \(\sigma\) 就可以使得 \(f(t)e^{-\sigma t}\) 絕對收斂，即

\[\displaystyle\lim_{t\to \pm \infty} f(t) e^{-\sigma t} = 0 \]

滿足此式的 \(s\) 值的範圍內稱為拉氏變換的收斂域。

主要分為 4 種情況：右邊訊號，左邊訊號，雙邊訊號，時限訊號；

• 右邊訊號

  右邊訊號的收斂域往往包含複平面的右半面，（非嚴謹）證明如下：

  對於右邊訊號，當 \(t < t_0\) 有 \(f(t) \equiv 0\)，始終滿足

  \[\forall \sigma \in R, \lim_{t \to -\infty} f(t) e^{-\sigma t} = 0 \]

  因此只需要考慮趨於正無窮的情況；

  當 \(t \ge t_0\) 時，假設 \(\sigma_0\) 使得 \(f(t)e^{-\sigma t}\) 絕對收斂。令 \(\sigma_1 > \sigma_0\)，由於 \(e^{-\sigma_1 t}\)

  的收斂速度\((t\to +\infty)\)比 \(e^{-\sigma_0 t}\) 更快，所以 \(\sigma_1 > \sigma_0\) 也能使得 \(f(t)e^{-\sigma t}\) 絕對收斂，即對於右邊訊號，如果在一個點上收斂，則這個點的右邊所有點均收斂。

• 左邊訊號

  左邊訊號的收斂域往往包含複平面的左半邊，證明過程也是類似的。

  當 \(t \le t_0\) 時，假設 \(\sigma_0\) 使得 \(f(t)e^{-\sigma t}\) 絕對收斂。令 \(\sigma_2 < \sigma_0\)，由於 \(e^{-\sigma_2 t}\) 的收斂速度\((t\to -\infty)\)比 \(e^{-\sigma_0 t}\) 更快，所以 \(\sigma_2 < \sigma_0\) 也能使得 \(f(t)e^{-\sigma t}\) 絕對收斂，即對於左邊訊號，如果在一個點上收斂，則這個點的左邊所有點均收斂。

• 雙邊訊號

  雙邊訊號的收斂域為帶狀或不存在。

  雙邊訊號可以分解為左邊訊號和右邊訊號，當且僅當左邊訊號和右邊訊號的收斂域存在交集時，雙邊訊號才存在拉氏變換。

• 時限訊號

  實現訊號的收斂域為整個複平面。對於時限訊號，有

  \[\lim_{t \to \pm \infty} f(t) = 0 \]

  所以有

  \[\forall \sigma \in R, \lim_{t \to \pm \infty} f(t) e^{-\sigma t}= 0 \]

  典型的時限訊號有：\(\delta(t)\)，\(G_{\tau}(t)\) 等

1.1.3. 拉氏變換與傅氏變換的關係

根據收斂域分為 3 種情況：

• 收斂域包含虛軸

  拉氏變換與傅氏變換滿足：\(F(jw) = F(s)|_{s=jw}\)

• 收斂域以虛軸為界

  拉氏變換與傅氏變換無明顯關係 \(F(jw) \not = F(s)|_{s=jw}\)，例如 \(u(t)\) 的拉氏變換為 \(\frac{1}{s}\)，其傅氏變換為 \(\frac{1}{jw} + \pi \delta(w)\)。

• 收斂域不包含虛軸

  只存在的拉氏變換，不存在傅氏變換。

1.2. 性質

性質	時頻域關係式
線性	\(\mathscr{L}[af_1(t) + bf_2(t)] = aF_1(s) + bF_2(s)\)
時移	\(\mathscr{L}[f(t)u(t)] = F(s),\\\mathscr{L}[f(t-t_0)u(t-t_0)] = F(s)e^{-st_0}\)
複頻移	\(\mathscr{L}[f(t)e^{s_0t}] = F(s-s_0)\)
尺度變換	\(\mathscr{L}[f(at)] = \frac{1}{a}F(\frac{s}{a}),\ a > 0\)
時域微分特性	\(\mathscr{L}[\frac{d f(t)}{dt}] = sF(s) - f(0^-),\\ \mathscr{L}[\frac{d^2 f(t)}{dt^2}] = s^2F(s) - sf(0^-) - sf'(0^-)\\\)
\(s\) 域微分特性	\(\mathscr{L}[(-t)f(t)] = \frac{dF(s)}{ds}\)
時域積分特性	\(\displaystyle\mathscr{L}\left[\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau \right] = \frac{F(s)}{s} + \frac{f^{-1}(0)}{s}\)
\(s\) 域積分特性	\(\displaystyle\mathscr{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right] = \int_{s}^{+\infty} F(s_1) ds_1\)
時域卷積定理	\(\mathscr{L}[f(t)*g(t)] = F(s)G(s)\)
初值定理	\(\displaystyle\lim_{s \to +\infty}s\cdot F(s) = f(0^+)\)
終值定理	\(\displaystyle\lim_{s \to 0} s \cdot F(s) = f(+\infty)\)

初值定理要求：

1. \(f(t)\) 連續可導；
2. 不包含任何階次的衝激函式；
3. \(F(s)\) 是真有理分式

終值定理要求： \(x(t)\) 的終值存在，即 \(X(s)\) 的極點在左半 \(s\) 平面

1.3. 常見的拉氏變換對

訊號型別	變換式
直流或正冪項
衝激訊號	\(\mathscr{L}[\delta(t)] = 1,\ \sigma \in R\)
衝激偶訊號	\(\mathscr{L}[\delta'(t)]=s,\ \sigma \in R\)
單根極點
階躍訊號	\(\mathscr{L}[u(t)] = \frac{1}{s},\ \sigma > 0\)
單邊指數訊號	\(\mathscr{L}[e^{at}u(t)] = \frac{1}{s-a},\ \sigma>a,\\\mathscr{L}[e^{at}u(-t)] = -\frac{1}{s-a},\ \sigma<a\)
雙邊指數訊號	\(\mathscr{L}[e^{-a\|t\|}] = \frac{2a}{a^2-s^2},\ \sigma\in(-a,a)\)
共軛復根極點
正弦訊號	\(\displaystyle\mathscr{L}[\sin(w_0 t)u(t)] = \frac{w_0}{s^2 + w_0^2},\ \sigma > 0\)
餘弦訊號	\(\displaystyle\mathscr{L}[\cos(w_0 t)u(t)] = \frac{s}{s^2 + w_0^2},\ \sigma > 0\)
正弦衰減訊號	\(\displaystyle\mathscr{L}[e^{at}\sin(w_0 t)u(t)] = \frac{w_0}{(s-a)^2 + w_0^2},\ \sigma > a\)
餘弦衰減訊號	\(\displaystyle\mathscr{L}[e^{at}\cos(w_0 t)u(t)] = \frac{s-a}{(s-a)^2 + w_0^2},\ \sigma > a\)
重根極點
斜變訊號	\(\displaystyle\mathscr{L}[tu(t)] = \frac{1}{s^2},\ \sigma > 0\)
高階斜變訊號	\(\displaystyle\mathscr{L}\left[\frac{t^n}{n!} u(t)\right] = \frac{1}{s^{n+1}},\ \sigma > 0\)
斜變衰減訊號	\(\displaystyle\mathscr{L}\left[\frac{t^n}{n!} e^{at} u(t)\right] = \frac{1}{(s-a)^{n+1}},\ \sigma > a\)
週期極點
週期衝激訊號	\(\displaystyle\mathscr{L}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}\delta(t - nT)\right] = \frac{1}{1 - e^{-sT}},\ \sigma \not = 0\)

對於有理分式，求解拉氏逆變換最常用的方式是部分分式分解法。一個有理分式可以表示為

\[H(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{\displaystyle\sum_{n=0}^{N} b_n s^n}{\displaystyle\sum_{m=0}^{M} a_m s^m}\]

部分分式分解建立在極點分解的基礎。極點即是分母 \(A(s)\) 的根，它有三中型別，即單根極點、共軛復根極點和重根極點，根據三種極點型別，該分式可以分解為

\[H(s) = \sum_{i} \frac{A_i}{s-p_i} + \sum_{j} \frac{B_j s + C_j}{(s+\alpha_j)^2 + \beta_j^2} + \sum_{m} \sum_{r=1}^{k} \frac{D_r}{(s-p_m)^r} \]

其中，

• \(p_i\) 是單根極點，對應的是階躍訊號、指數訊號的變換式；
• \(\alpha_j \pm j \beta_j\) 是共軛復根極點，對應的是正弦訊號和正弦衰減訊號的變換式；
• \(p_m\) 是 \(k\) 階重根極點，對應的是斜變訊號以及和斜變訊號相乘的訊號的變換式；
• 若有理分式為假分式，則可能存在直流項或正冪次項，對應的是衝激訊號或高階衝激訊號。