1 訊號與系統基礎

1.1 引論

• 訊息： 待發送的一種雙方事先約定的方式組成的符號，如語言文字影象資料等

• 資訊： 所接受到的訊息中獲取的未知內容

• 訊號： 一種物理量（電、光、聲）的變化，資訊的載體

• 電訊號： 與訊息相對應的變化的電流或電壓，或者電容上的電荷、電感中的磁通等等。

• 系統： 一組相互有聯絡的事物並具有特定功能的整體。

• 系統可以分為物理系統與非物理系統（電路系統or生物系統）

1.2 訊號分類與典型訊號

• 確知訊號與隨機訊號
• 週期訊號與非週期訊號
• 連續時間訊號與離散時間的訊號
• 一維訊號與多維訊號

1. 典型訊號
   1. 指數訊號 \(f(t) = Ke^{at}\)
   2. 正弦訊號 \(f(t) = Ksin(wt+a)\)
   3. 復指數訊號 \(f(t) = K(e^{st})\)
   4. 抽樣函式 \(Sa(t) = \frac{sint}{t}\) 全域積分為\(\pi\)

1.3 訊號的運算

• 加法
• 乘法數乘

1. 翻轉f(-t)
2. 時移f(t+a)
3. 尺度縮放f(Kt)

• 微分 突出變換部分
• 積分 使訊號的突變部分變得平滑，削弱毛刺（噪聲）的影響

1.4 奇異訊號

函式本身有不連續點或者導數與積分具有不連續點的函式，稱為奇異函式或者奇異訊號

1. 單位斜變訊號 \(R(t) = t, t \ge 0\)
2. 單位階躍訊號 \(u(t) = 1, t \gt 0\)
3. 單位衝激訊號 \(\delta(t) = 0, t \ne 0, \int_{-\infty}^{\infty}\delta (t)dt = 1\)

衝激函式的性質：

1. 取樣性質:
   1. \(f(t)\delta(t) = f(0)\delta(t)\)
   2. \(\int f(t)\delta(t)dt = f(0)\)
   3. \(\int f(t)\delta(t-t_0)dt = f(t_0)\)
2. 偶函式
3. 積分為u(t)

衝擊偶函式：\(\delta'(t)\)

1. 奇函式
2. \(\int f(t)\delta'(t-t_0)dt = -f'(t_0)\)
3. \(\int \delta'(t-t_0)dt = 0\)

1.5 訊號的分解

奇偶分解：

• \(f_e(t) = 0.5(f(t)+f(-t))\)
• \(f_o(t) = 0.5(f(t)-f(-t))\)

脈衝分解

正交分解

如果用正交函式集表示一個訊號，那麼，組成訊號的各分量就是相互正交的。

例如，各次諧波的正弦與餘弦訊號構成的三角函式集就是正交函式集。任何週期訊號f(t)只要滿足狄裡赫利條件，就可以由這些三角函式的線性組合來表示，稱為f(t)的三角形式的傅立葉級數。同理， f(t)還可以展開成指數形式的傅立葉級數。

1.6 系統模型及分類

• 系統的定義：由若干個相互關聯又相互作用的事物組合而成，具有某種或者某些特定功能的整體，如通訊系統、雷達系統等
• 系統總是對施加於它的訊號也稱激勵，做出響應，產生輸出訊號，也稱響應，系統的功能就體現在什麼樣的輸入產生什麼樣的輸出訊號

系統的分類：

• 連續時間系統於離散時間系統 數學模型為微分方程與差分方程
• 無記憶系統於有記憶系統 數學模型為代數方程與（微分方程差分方程）
• 集總引數系統於分佈引數系統 數學模型為常微分方程與偏微分方程
• 線性系統與非線性系統 線性就是均勻疊加
• 時變系統與時不變系統 系統的引數是否隨著時間而變化
• 可逆系統與不可逆系統 不同激勵能否產生相同的響應
• 單輸入輸出系統與多輸入多輸出系統

1.7 線性時不變系統

線性：

1. 疊加性質: \(x_1(t) + x_2(t) \rightarrow y_1(t) + y_2(t)\)
2. 齊次性： \(ax(t) \rightarrow ay(t)\)

時不變：
\(x(t-t_0) \rightarrow y(t-t_0)\)

微分性

積分性

因果性