Ch 02 - 連續訊號的時域分析

卷積

x(t) --- h(t) --> y(t)

\[f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau){\rm d}\tau \]

代數性質

• 交換律

• 結合律

• 分配律

• 微分：\((\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}f_1(t))*f_2(t)=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(f_1(t)*f_2(t))\)

• 積分：\((\int_{-\infty}^t f_1(t))*f_2(t)=\int_{-\infty}^t(f_1(t)*f_2(t))\)

• 結合微、積分性質有：

  \[y(t)=x(t)*h(t)\\ =\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}x(t)*\int_{-\infty}^th(\tau){\rm d}\tau\\ =\int_{-\infty}^tx(\tau){\rm d}\tau* \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}h(t) \]

與基本函式的互操作

• 衝激 \(\delta(t)\)

  \(x(t)*\delta(t)=x(t)\)

  \(x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)\)

  \(x(t)*\delta'(t)=x'(t)\)

• 階躍 \(u(t)\)

  \(x(t)*u(t)=\int_{-\infty}^tx(\tau){\rm d}\tau\)

  \(u(t)*u(t)=tu(t)\)

• 兩個門函式的卷積

  \(AG(t_1,t_2)*BG(t_3,t_4)\)（\(a=t_2-t_1<b=t_4-t_3\)）

  結果為等腰梯形，底兩端為\(t_1+t_3,t_2+t_4\)，高為\(ABa\)，腰對應底邊長\(a\)，上底長\(b-a\)。

連續 LTI 系統的微分方程描述

\(n\) 階通式

引入微分運算元 \(p^k =\frac{{\rm d}^k}{{\rm d}t^k}\)

\[\sum_{k=0}^n a_k p^ky(t)= \sum_{k=0}^m b_k p^kx(t) \]

不失一般性，可改寫為

\[D(p)y(t)=(p^n+a_{n-1}p^{n-1}+...+a_1p+a_0)y(t)\\= (b_mp^m+b_{m-1}p^{m-1}+...+b_1p+b_0)x(t)=N(p)x(t) \]

從而

\[y(t)=\frac{N(p)}{D(p)}x(t)=H(p)x(t) \]

單位衝激響應為

\[h(t)=H(p)\delta(t) \]

框圖表示

例

\[p^2y(t)+2py(t)-2y(t)=x(t)+px(t)+3\int_{-\infty}^tx(\tau){\rm d}\tau \\ \Rightarrow(p^3+2p^2-2p)y(t)=(p^2+p+3)x(t) \\ \Rightarrow y(t)=\frac{p^2+p+3}{p^3+2p^2-2p}x(t) \]

令

\[q(t)=\frac{1}{p^3+2p^2-2p}x(t) \]

則

\[y(t)=(p^2+p+3)q(t)\\ x(t)=(p^3+2p^2-2p)q(t) \\ \Rightarrow p^3q(t)=x(t)-2p^2q(t)+2pq(t) \]

藉助積分器反覆降次與求和器畫圖即可。

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