Ch 03 - 連續訊號的頻域分析

連續傅立葉級數 CFS

CFS 給出了週期訊號的分解表示

\[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}A_k{\rm e}^{{\rm j}k\Omega_0t} \\=A_0+\sum_{k=1}^{+\infty}(a_n\cos \frac{2k\pi t}{T_0} + b_n \sin \frac{2k\pi t}{T_0}) \]

用有限（如正弦波疊加型）或無限（如方波）個正弦訊號逼近任何一個週期訊號。

其中傅立葉級數的係數

\[A_k=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t){\rm e}^{-{\rm j}k\Omega_0t} {\rm d}t \]

給出了週期訊號中各復指數諧波分量的復振幅。

直流量

\[A_0=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t) {\rm d}t \]

給出了一個基波週期內的均值。

連續非週期訊號傅立葉變換 CTFT

不妨將非週期訊號視為週期無限大的週期訊號，則有 CFS：

\[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\Omega}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t){\rm e}^{-{\rm j}k\Omega t} {\rm d}t~{\rm e}^{{\rm j}k\Omega t} \]

其中 \(\Omega\rightarrow0\)，換元 \(k\Omega\rightarrow\Omega\)

並將級數改寫為積分

\[x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2\pi} \left(\int_{-\infty}^{+\infty}x(t){\rm e}^{-{\rm j}\Omega t} {\rm d}t \right)~{\rm e}^{{\rm j}\Omega t} {\rm d \Omega} \]

該式即給出了傅立葉變換

\[X({\rm j}\Omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t){\rm e}^{-{\rm j}\Omega t}{\rm d}t \]

和反變換

\[x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X({\rm j}\Omega){\rm e}^{{\rm j}\Omega t}{\rm d}\Omega \]

所以傅立葉變換是傅立葉級數的係數，給出了非週期訊號的頻譜。由於 \(\Omega\rightarrow0\)

，故非週期訊號的頻譜是連續的。

基本性質

• 線性

• 時移（同號）

  \(x(t-t_0)\leftrightarrow X({\rm j}\Omega){\rm e}^{-{\rm j} \Omega t_0}\)

• 頻移（變號）

  \(x(t){\rm e}^{\rm j\Omega_0t}\leftrightarrow X({\rm j}(\Omega-\Omega_0))\)

• 共軛對稱

  \(x^*(t)\leftrightarrow X^*(-{\rm j} \Omega)\)

• 尺度變換

  \(x(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}X({\rm j} \Omega/a)\)

• 時域反轉

  \(x(-t)\leftrightarrow X(-{\rm j} \Omega)\)

• 卷積

  \(x(t)*y(t)\leftrightarrow X({\rm j} \Omega)Y({\rm j} \Omega)\)

• 乘法

  \(x(t)y(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X({\rm j} \Omega)*Y({\rm j} \Omega)\)

• 微分

  \({\rm d}x(t)/{\rm d} t\leftrightarrow {\rm j} \Omega X({\rm j} \Omega)\)

• 積分

  \(\int_{-\infty}^t x(\tau){\rm d}\tau\leftrightarrow \frac{1}{{\rm j} \Omega}X({\rm j} \Omega)+\pi X(0)\delta(\Omega)\)

• 對偶

  \(X({\rm j}t)\leftrightarrow 2\pi x(-\Omega)\)

• 奇偶分解

  該性質可以直覺地由尤拉公式結合傅立葉變換中的復指數函式推出

  \(x_{even}(t)\leftrightarrow {\rm Re}[X({\rm j} \Omega)]\)

  \(x_{odd}(t)\leftrightarrow {\rm j}{\rm Im}[X({\rm j} \Omega)]\)

• 帕塞瓦定理

  \(\int_{\infty}|x(t)|^2{\rm d}t=\frac{1}{2\pi} \int_{\infty}|X({\rm j}\Omega)|^2{\rm d}\Omega\)

常用變換對

基本函式

• \(\delta(t) \leftrightarrow 1\)
• \(u(t)\leftrightarrow \pi\delta(\Omega)+\frac{1}{{\rm j}\Omega}\)
• \(1\leftrightarrow 2\pi\delta(\Omega)\)
• \({\rm e}^{{\rm j}\Omega_0t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\Omega-\Omega_0)\)
• \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)\leftrightarrow \frac{2 \pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-\frac{2\pi}{T}k)\)

指數

• \({\rm e}^{-at}u(t)~(a>0) \leftrightarrow \frac{1}{a+{\rm j}\Omega}\)
• \(t{\rm e}^{-at}u(t)\leftrightarrow\frac{1}{(a+{\rm j} \Omega)^2},\quad{\rm Re\{a\}>0}\)
• \({\rm e}^{-a|t|}~(a>0)\leftrightarrow \frac{2a}{a^2+\Omega^2}\)

三角函式

• \(\sin \Omega_0t \leftrightarrow \frac{\pi}{\rm j}[\delta(\Omega-\Omega_0)-\delta(\Omega+\Omega_0)]\)
• \(\cos \Omega_0t \leftrightarrow \pi[\delta(\Omega-\Omega_0)+\delta(\Omega+\Omega_0)]\)

門函式與方波（\({\rm sinc}(x)=\frac{\sin \pi x}{\pi x}\), \({\rm Sa}(x)=\frac{\sin x}{x}\)）

• \(x(t)=1,~|t|<\tau/2~{\rm else}~0 \leftrightarrow \tau{\rm Sa} (\Omega\tau/2)\) （門函式）
• \(-\tau\sim+\tau\) 之間最高為 \(E\) 的三角脈衝：\(E\tau{\rm Sa}^2(\Omega\tau/2)\)
• \(\frac{\sin Wt}{\pi t}=\frac{W}{\pi}{\rm Sa}(Wt)\leftrightarrow X({\rm j\Omega})=1,~|\Omega|<W~{\rm else}~0\)（門函式對偶）
• 週期為 \(T_0\) 的偶函式方波，脈寬 \(\tau\)：\(\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(k\Omega_0\tau/2)}{k}\delta(\Omega-k\Omega_0),~\Omega_0=2\pi/T_0\)

其他

• \({\rm sgn}(t)\leftrightarrow \frac{2}{{\rm j}\Omega}\)

連續 LTI 系統

傅立葉變換為連續 LTI 系統的頻域分析提供了方法。

• \(x(t)\rightarrow X({\rm j}\Omega)\)
• 確定系統的 \(H({\rm j}\Omega)\)
• \(Y({\rm j}\Omega)=X({\rm j}\Omega)H({\rm j}\Omega)\)
• \(Y({\rm j}\Omega)\rightarrow y(t)\)