理解矩陣背後的現實意義

線性空間中的運動，被稱為線性變換。

矩陣的本質是運動的描述。vs “矩陣是線性空間裏躍遷的描述”。

在線性空間中選定基之後，向量刻畫對象，矩陣刻畫對象的運動，用矩陣與向量的乘法施加運動。

“矩陣是線性空間裏的變換的描述。”

　　矩陣的定義：“矩陣是線性空間中的線性變換的一個描述。在一個線性空間中，只要我們選定一組基，那麽對於任何一個線性變換，都能夠用一個確定的矩陣來加以描述。”

理解這句話的關鍵，在於把“線性變換”與“線性變換的一個描述”區別開。一個是那個對象，一個是對那個對象的表述。

　　矩陣MxN，一方面表明坐標系N在運動M下的變換結果，另一方面，把M當成N的前綴，當成N的環境描述，那麽就是說，在M坐標系度量下，有另一個坐標系N。這個坐標系N如果放在I坐標系中度量，其結果為坐標系MxN。

1. 從變換的觀點看，對坐標系N施加M變換，就是把組成坐標系N的每一個向量施加M變換。
2. 從坐標系的觀點看，在M坐標系中表現為N的另一個坐標系，這也歸結為，對N坐標系基的每一個向量，把它在I坐標系中的坐標找出來，然後匯成一個新的矩陣。
3. 至於矩陣乘以向量為什麽要那樣規定，那是因為一個在M中度量為a的向量，如果想要恢復在I中的真像，就必須分別與M中的每一個向量進行內積運算。

理解矩陣乘法

*矩陣的本質就是線性方程式，兩者是一一對應關系。 *

下面才是嚴格的證明。有三組未知數 x、y 和 t，其中 x 和 y 的關系如下。

x 和 t 的關系如下。

有了這兩組方程式，就可以求 y 和 t 的關系。從矩陣來看，很顯然，只要把第二個矩陣代入第一個矩陣即可。

從方程式來看，也可以把第二個方程組代入第一個方程組。

上面的方程組可以整理成下面的形式。

最後那個矩陣等式，與前面的矩陣等式一對照，就會得到下面的關系。

理解矩陣