實對稱正定矩陣存在平方根的證明 阿新 • • 發佈：2018-12-15 ∵A是實對稱矩陣,∴存在正交陣P,使P−1AP=Λ=(λ1    λ2    ⋱    λn)⇒A=PΛP−1∵A正定,∴λ1,λ2,...,λn全是正數,令Λ1=(λ1     λ2    ⋱    λn),B=PΛ1P−1則B正定,且有B2=BB=PΛ1P−1PΛ1P−1=PΛ12P−1=PΛP−1=A\because A是實對稱矩陣,\therefore 存在正交陣P,使\\ P^{-1}AP=\Lambda=\left( %左括號 \begin{array}{cccc} %該矩陣一共4列，每一列都居中放置 \lambda_1&\, &\, &\,\\ %第一行元素 \, & \lambda_2&\, &\, \\ %第二行元素 \, &\,&\ddots &\, \\ \, &\,& \, &\lambda_n \\ \end{array} \right)\Rightarrow A= P\Lambda P^{-1}\\ \because A正定,\therefore \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n全是正數,令\\ \Lambda_1 =\left( %左括號 \begin{array}{cccc} %該矩陣一共4列，每一列都居中放置 \sqrt{\lambda_1}&\, &\, &\,\\ %第一行元素 \, & \sqrt{\lambda_2}&\, &\, \\ %第二行元素 \, &\,&\ddots &\, \\ \, &\,& \, &\sqrt{\lambda_n}\\ \end{array} \right),B=P\Lambda_1P^{-1}\\ 則B正定,且有B^2=BB=P\Lambda_1P^{-1}P\Lambda_1P^{-1}\\=P\Lambda_1^2 P^{-1}=P\Lambda P^{-1}=A
