正定矩陣與半正定矩陣定義與判別
1.正定矩陣和半正定矩陣
若所有特徵值均大於零,則稱為正定。
定義:A是n階方陣,如果對任何非零向量x,都有>0,其中表示x的轉置,就稱A為正定矩陣。
性質:
- 正定矩陣的行列式恆為正;
- 實對稱矩陣AA正定當且僅當AA與單位矩陣合同;
- 兩個正定矩陣的和是正定矩陣;
- 正實數與正定矩陣的乘積是正定矩陣。
根據正定矩陣的定義及性質,判別對稱矩陣A的正定性有兩種方法:
求出A的所有特徵值。若A的特徵值均為正數,則A是正定的;若A的特徵值均為負數,則A為負定的。
計算A的各階順序主子式。若A的各階順序主子式均大於零,則A是正定的;若A的各階順序主子式中,奇數階主子式為負,偶數階為正,則A為負定的。
2.半正定矩陣
若所有特徵值均不小於零,則稱為半正定。
定義:設A是實對稱矩陣。如果對任意的實非零列向量x有≥0,就稱A為半正定矩陣。
對於半正定矩陣來說,相應的條件應改為所有的主子式非負。順序主子式非負並不能推出矩陣是半正定的。
性質:
- 半正定矩陣的行列式是非負的;
- 兩個半正定矩陣的和是半正定的;
- 非負實數與半正定矩陣的數乘矩陣是半正定的。
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