空間站的飛行軌跡是怎樣形成的？衛星是如何繞地飛行的？3 月 18 日 12 時，《張朝陽的物理課》開播，張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間，迴歸經典力學，推導空間站的飛行軌道等問題。他先從牛頓力學出發，為網友們解答了衛星為什麼能在天上執行而不掉下來，接著帶領大家複習了第一、第二宇宙速度的計算以及同步衛星的概念，在課程結尾演示了萬有引力下的能量守恆定律和衛星軌跡方程的求解。

複習第一、第二宇宙速度 計算同步衛星軌道半徑

為便於理解，在本次直播中張朝陽先帶網友複習了第一、第二宇宙速度的計算，並且介紹了同步衛星的概念。為此，張朝陽先根據牛頓第二運動定律 F=ma 寫出衛星做圓周運動的方程：

張朝陽解釋道，做勻速圓周運動的物體，其速度大小雖然沒有改變，但是速度的方向是在不斷變化的，因此這個物體具有加速度。首先，角速度是角度隨時間的變化率，而速度等於角速度與半徑的乘積：

他畫指示圖來進行說明：

(張朝陽在直播中推導圓周運動加速度公式)

在一個很小的時間間隔上，速度的改變數指向圓心，它的大小等於速度乘以角度改變數。除以 dt 就可以得到加速度的公式：

將此加速度公式代回衛星圓周運動方程，化簡可得衛星的速度：

G 和 M 分別是萬有引力常數和地球質量。隨後，他在白板上演示瞭如何通過“黃金代換公式”將 G 和 M 換成更常見的物理量。為此，張朝陽考慮了地球表面的萬有引力：mg=GMm / R^2，這裡 R 表示地球半徑，m 表示地球表面附近物體的質量，g 表示地球表面附近的重力加速度。於是有 GM=gR^2。將這個結果代回衛星速度公式就得到：

張朝陽介紹，第一宇宙速度就是地球表面附近的衛星繞著地球做圓周運動時的速度。此時 r 近似為 R，於是得到第一宇宙速度公式：

這個速度的值是 7.9km / s。而對於地球同步衛星，其公轉週期與地球自轉週期相同，即其公轉角速度應等於地球的自轉角速度。張朝陽將速度換成角速度乘以軌道半徑，於是得到：

代入地球自轉角速度、地表附近重力加速度、地球的半徑等數值，張朝陽算得同步衛星軌道半徑約為 42600 km。“所以，為了保證衛星同步轉動，其執行的軌道半徑必須為四萬兩千多公里。”張朝陽總結道。

接下來，張朝陽繼續介紹了第二宇宙速度。所謂第二宇宙速度，就是物體從地球表面出發逃逸到無窮遠處至少所需的初速度。

他先考慮了物體沿徑向運動的情況。假設物體剛好以第二宇宙速度從地球表面沿徑向逃逸，到了無窮遠處這個物體的速度必須是零，否則它的初速度就不是最低要求的速度了。這時候引力做的功剛好抵消掉物體的動能，於是有：

於是得到第二宇宙速度公式：

這個速度大小是 11.2 km / s。推導這個結果時考慮的是徑向運動，因此張朝陽提了一個問題，如果物體以這個速度從切線方向飛出，那它還能不能逃逸到無窮遠處呢？他介紹，這個問題將在下一次課程直播中解答。

推導萬有引力下的能量守恆 解釋衛星動能勢能總和不變

隨後，張朝陽又進行了萬有引力下的能量守恆定律的推導，揭示衛星在引力場中的總能量由動能和引力勢能兩部分組成，衛星運動期間總能量保持不變。考慮到情況的普遍性，張朝陽使用了向量分析的工具來進行推導。當物體在引力場中運動了一小段距離時，引力場做的功是：

其中向量 er 是徑向單位向量。張朝陽給網友們詳細演示瞭如何對此式進行化簡：

於是萬有引力做的功可以化為：

又因牛頓第二運動定律：

於是得出：

張朝陽解釋道，括號裡邊的值就是總能量。在物體運動過程中，總能量的改變數為 0，這就是引力場下的能量守恆定律。總能量表達式中的第一項是物體的動能，帶負號的第二項是它的引力勢能。

(張朝陽推導引力場下的能量守恆定律)

推導萬有引力下的衛星軌跡 計算橢圓軌道時的極值距離

在地球引力下，衛星是如何執行的？張朝陽繼續進行推演。首先，他引入了極座標，並作如下推導：

其中上標的撇號表示對時間求導。該推導需結合張朝陽直播所畫的示意圖來理解。

(張朝陽推導所用圖示)

結合萬有引力下的牛頓第二定律：

對比徑向分量和角向分量立即得到：

於是 r^2θ’是常數，張朝陽將其記為 a。他解釋道，θ’是單位時間經過的角度，r^2θ’/2 就是衛星連線地球中心的線段在單位時間內掃過的面積，這個面積是一個常數，這就是開普勒第二定律。

利用這個常數可以消去角度對時間的導數，從而根據上面的第一個式子得到：

為求解這個方程，張朝陽引入了新的變數 y=1 / r，並且將對時間的導數化為對角度的導數：

將這個結果代入上面關於 r 的方程立即得到：

他強調，這是一個很簡單的方程，其通解為 y=A cos (θ+θ0)+ GM / a^2，其中 A>0。並且，可以重新選取角座標的原點使 θ0=0，將 y 代回到原形式 1 / r，可得：

張朝陽解釋，這正是極座標下橢圓、拋物線或者雙曲線的方程，也就是說衛星的執行軌跡只能是這三種曲線中的一種。據此，可以計算當運動軌跡為橢圓時的近地點距離和遠地點距離。軌跡上離地球最近的距離是 1/(A+B)，最遠的距離是 1/(B-A)。

(張朝陽推匯出衛星的軌跡)

據悉，在下節課中，張朝陽將會就空間站軌道的穩定性 —— 當執行軌道受到干擾時，會發生怎樣的改變進行推導解答。