Burnside和Polya定理都是高級計數的工具。對於一般計數問題，可以用排列組合來統計，但是對於更復雜的問題，比如對n個點用m種顏色染色，並且認為這n個點可以相互轉移，即第一個點的位置可以與第二個點互換等等，求最多有多少種不同的染色（兩種染色不同，當且僅當兩者在空間上存在相同位置的兩點顏色，且無法通過允許的轉移從前者轉移到後者）。

　　組合數學提供了強悍的Burnside和Polya定理來對這種復雜情況的可能數進行計數。

基礎知識

　　我們將允許的轉移以下列方程表示出來：

　　(1 2 3 4 5)

　　(2 3 4 5 1)

　　對於任意輸入值，我們先在上面方框裏找到對應的下標（如果值未上方標識出來，那麽返回值就是輸入值，即等值轉換），並用該下標在下面方框裏找到映射值。實際上可以發現置換是一個函數，因為每個輸入值通過轉移可以轉換為另外一個確定的值。我們將其記作t。

　　對於定義域和值域均落在集合V上的所有置換的集合，稱為V上的置換類。（事實上這個類是一個群，但是我們不細講）

　　可以發現上面的輸入值x轉移得到的值均為上方括號該值出現的後一位（最後一位後面就認為是首位），其構成了一個循環，我們用(1 2 3 4 5)來簡單標記，稱這樣的置換為循環。

　　由於置換是函數，因此我們可以進行復合操作，即對於置換f與g，我們記fg為二者的復合函數（轉移），而(fg)(x)=f(g(x))。若f與g是循環，其也可以寫作(f1 f2 ... fn)(g1 g2 ... gm)。

定理：任意一個置換都可以拆解成為若幹個不相交循環。比如(1 2 3)(4 5)等價於下面的置換：

　　(1 2 3 4 5)

　　(2 3 1 5 4)

　　對於指定值x，若置換f滿足f(x)=x，那麽稱f是x不動置換，相應的稱x是f的不動點，由所有x的不動置換組成的集合稱為x不動置換類。

　　置換可以直接作用於向量，對於向量(a1,a2,...,an)，我們記f(a1,a2,...,an)=(a_f(1),a_f(2),...,a_f(n))

核心定理

　　現在來描述問題。有n個點和m種顏色，問有多少種不同的染色的可能。並且提供一個[1,n]上的置換類G，當且僅當兩個染色方案a與b，對於所有G中的置換g，都滿足g(a)<>b，才認為兩個染色方案不同。而每個染色方案可以用向量來表示(c1,c2,...,cn)。其中ci表示第i個點所上的顏色。並且我們稱相同的染色方案（向量）為等價類。

Polya定理：記置換G={a1,...,ak}，在[1,m]^n上，不同的向量數目為$ L=\left(\sum_{i=1}^k{m^{l\left(a_i\right)}}\right)/|G| $。其中l(ai)表示置換ai可以展開為循環的節數，比如(1 2)(3 4)(5)就是3節循環。

　　註意使用這兩個定理，要保證G中不含重復的置換。（兩個置換相同與函數相同的定義一致）。

Polya定理